常見空間距離的求解策略

■山東省嘉祥縣第一中學(xué) 韓 陽(yáng)

空間距離是立體幾何研究的一類重要問題，也是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，主要包括點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、線線距離、線面距離、面面距離。其中以點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到線的距離、點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ)，線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離。

一、定義法

根據(jù)已知條件，利用幾何體的特征，結(jié)合空間距離的定義和立體幾何的知識(shí)先證明某線段為所求的距離，然后再通過解三角形求出空間距離。

例1某幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的最大棱長(zhǎng)為（ ）。

圖1

解析：由題意可知該幾何體的直觀圖是長(zhǎng)方體的一部分，如圖2 所示，所以該幾何體的最大棱長(zhǎng)為

圖2

點(diǎn)評(píng)：利用棱錐的定義，由三視圖作出四棱錐的直觀圖，結(jié)合直觀圖利用勻股定理求相關(guān)幾何量的數(shù)量，進(jìn)而求出結(jié)果，解決此類問題的關(guān)鍵是由三視圖還原出原來的幾何體。

二、公式法

利用幾何體的體積公式或表面積公式，直接計(jì)算出所求距離或線段的長(zhǎng)度。

例2若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為a，其體積為16，則a=___。

解析：由題意得16，解得a=4。

點(diǎn)評(píng)：正三棱柱的底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，柱體的體積等于底面積乘以高，邊長(zhǎng)為a 的正三角形的面積為

三、等體積法

當(dāng)點(diǎn)到平面的距離不易求時(shí)，可先構(gòu)造一個(gè)三棱錐，若此三棱錐的底面積比較好求，且通過轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)，求出三棱錐的體積，再利用三棱錐體積的不變性，求出點(diǎn)到平面的距離。

例3邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD 沿對(duì)角線AC折疊，使得△ACD 垂直于底面ABC，如圖3所示，則點(diǎn)C 到平面ABD 的距離為（ ）。

圖3

解析：如圖4，取AC的中點(diǎn)O，連接DO 和BO，則DO⊥AC，BO⊥AC。

由于四邊形ABCD 是邊長(zhǎng)為2 的正方形，所以AD=CD=AB=BC=2，則

圖4

由題知，平面ACD⊥平面ABC，且交線為AC，而DO ?平面ACD，則DO ⊥平面ABC。

又BO?平面ABC，所以DO⊥BO，所以在Rt△BOD 中

所以△ABD 是等邊三角形，則S△ABD=

點(diǎn)評(píng)：本題利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，避免了從點(diǎn)C 作平面ABD 的垂線，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，起到了化繁為簡(jiǎn)的效果。

四、向量法

如果由題意可以比較容易地建立空間直角坐標(biāo)系，則可以使用向量法處理空間距離問題，關(guān)鍵是坐標(biāo)要正確，運(yùn)算的過程要準(zhǔn)確。如果是不易直接建系，當(dāng)知道長(zhǎng)度與角度時(shí)，可以考慮使用非坐標(biāo)形式下的向量運(yùn)算進(jìn)行求解。

例4如圖5，在四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 是一個(gè)直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥平面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，M 和N 分別為PA 和PC 的中點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)P 到平面DBN的距離；

（2）設(shè)點(diǎn)N 在平面BDM內(nèi)的射影為點(diǎn)H，求線段HA 的長(zhǎng)。

解析：（1）在四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 是一個(gè)直角梯形，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD。

圖5

所以以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP 所在直線分別為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6，則D（0，2，0），M（0，0，1），P（0，0，2），B（2，0，0），

圖6

設(shè)平面BDN 的法向量為m=（x1，y1，z1），則取x1=1，得

設(shè)平面BDM 的法向量為n= （x2，y2，z2），則取x2=1，得n=（1，1，2）。

（2）設(shè)點(diǎn)N 在平面BDM 內(nèi)的射影為點(diǎn)H（a，b，c），則所以點(diǎn)N 到平面BDM 的距離為d2=

點(diǎn)評(píng)：利用向量法解決空間距離問題常用到下面兩個(gè)結(jié)論：（1）點(diǎn)到直線的距離：設(shè)過點(diǎn)P 的直線l的方向向量為單位向量n，A為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A 到直線l 的距離d=（2）點(diǎn)到平面的距離：設(shè)P 為平面α 內(nèi)的一點(diǎn)，n 為平面α 的法向量，A 為平面α 外一點(diǎn)，點(diǎn)A 到平面α 的距離