分析法在空間幾何證明中的靈活應用

■四川省綿陽實驗高級中學 劉榮燕

分析法和綜合法是數(shù)學學習中應用較為普遍的相互依賴、相互滲透的思想方法，也是培養(yǎng)同學們分析問題、解決問題等能力的重要的思想方法。分析法和綜合法作為數(shù)學的思想方法，在數(shù)學的各個方面都有重要的應用。

空間幾何是高中數(shù)學知識體系的重要知識模塊之一，也是高考的必考內(nèi)容。其中幾何證明題在空間幾何中占有極其重要的位置，為幫助同學們掌握好幾何證明題證明的分析方法，現(xiàn)舉例說明。

一、由因索果

從已知條件出發(fā)，通過定向思維，逐步逼近結(jié)論。

例1如圖1，在四棱錐A-BCDE 中，CD ⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M為AD 上一點，EM ⊥平面ACD。

（1）求 證：EM ∥平面ABC；

（2）若CD=2BE=2，求點D 到平面EMC 的距離。

分析：（1）要證明線面平行，可從線線平行和面面平行這兩個角度來進行分析、證明；也可結(jié)合平面或空間幾何體其他平行性質(zhì)進行證明。（2）熟悉點到面的各種方法，根據(jù)題目條件靈活選擇、應用。

圖1

解：（1）如圖2，取AC 的中點F，連接BF，因為AB=BC，所以BF⊥AC。

因為CD ⊥平面ABC，所以CD⊥BF。

又因為CD ∩AC=C，所以BF⊥平面ACD。

因為EM ⊥平面ACD，所以EM∥BF。

圖2

（2）因為EM ⊥平面ACD，EM ?面EMC，所以平面CME⊥平面ACD。

因為平面CME∩平面ACD=CM，過點D 作DG⊥CM 于G，如圖2，則DG⊥平面CME，DG 的長即為點D 到平面EMC 的距離。

由已 知CD ⊥平 面ABC，BE ∥CD，AB=BC=CD=2BE，可得AE=DE。

又EM ⊥AD，所以M 為AD 的中點。

總結(jié)：（1）構(gòu)造不同的線面垂直，再根據(jù)垂直于同一平面的兩直線互相平行，得出線面平行，再由線面平行的判定定理得出結(jié)論；（2）解答時，證明問題務必要依據(jù)判定定理，因此線面的平行問題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個平面外的直線平行；（3）敘述時一定要交代面外的線和面內(nèi)的線，這是許多同學容易忽視的問題，也是高考試卷中最容易扣分的地方，因此在表達時一定要引起注意。

二、由果索因

從結(jié)論出發(fā)，進行逆向推理，找出要證明的條件。

例2如圖3，在四棱錐P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=為線段AD 的中點，過BE 的平面與線段PD，PC 分別交于點G，F(xiàn)。

（1）求證：GF⊥PA。

圖3

分析：（1）從問題出發(fā)，要證明線線垂直，在空間幾何中主要采用線面垂直來證明，但該問題中兩條直線沒有直接的線線垂直條件，因此還需要通過相關(guān)條件進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化。（2）存在類問題，一般是采取假設(shè)該問題成立，然后把它當成已知條件來分析，最后得出結(jié)果；如果存在，作答時，只需倒過來進行書寫即可。

解：（1）因為且E 為線段AD 的中點，所以BC=DE。

又BC∥AD，所以四邊形BCDE 為平行四邊形，所以BE∥CD。

又平面BEGF∩平面PCD=GF，所以BE∥GF。

又因為∠ADC=90°，所以AD⊥CD。

又CD∥BE，所以BE⊥AD。

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BE⊥平面PAD。

又PA?平面PAD，所以BE⊥PA。

又因為BE∥GF，所以GF⊥PA。

（2）存在點G，且G 為DP 上靠近D 點的三等分點。證明如下：

因為PA=PD，E 為線段AD 的中點，所以PE⊥AD。

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥EB。

又因為AD ⊥EB，所以以E 為坐標原點，EA，EB，EP 所在直線為x 軸，y 軸，z軸，建立如圖4 所示的空間直角坐標系E-xyz。

又E 為線段AD 的中點，所以PE=1，則P（0，0，1），B（0，1，0），E（0，0，0），D（-1，0，0），所 以

圖4

總結(jié)：（1）利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理證得線線平行，再利用線面垂直的判定定理證得線面垂直，從而得到線線垂直。（2）用空間向量方法求線面角，需建立適當?shù)目臻g直角坐標系，數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，考查同學們的運算能力與空間想象能力。

三、由因索果與由果索因的綜合推理

根據(jù)已知條件和求證的結(jié)論進行綜合推理。

例3如圖5，正三棱柱ABC-A1B1C1的高為，其底面邊長為2。已知M，N 分別是棱A1C1，AC 的中點，D 是棱CC1上靠近C 的三等分點。求證：

（1）B1M∥平面A1BN；

（2）AD⊥平面A1BN。

圖5

分析：（1）根據(jù)題目本身的一些平行和垂直條件，再從問題出發(fā)，結(jié)合圖形，我們分析出該題可由線線平行來證明線面平行；（2）要證明線面垂直可從線線垂直和面面垂直這兩種途徑進行分析。

解：（1）連接MN，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥CC1且AA1=CC1，則四邊形AA1C1C 是平行四邊形。

因為M，N 分別是棱A1C1，AC 的中點，所以MN∥AA1且MN=AA1。

又因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1且AA1=BB1，所以MN∥BB1且MN=BB1，所以四邊形MNBB1是平行四邊形，所以B1M∥BN。

又B1M平 面A1BN，BN ?平 面A1BN，所以B1M∥平面A1BN。

（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC，所以BN⊥AA1。

在正△ABC 中，N 是AB 的中點，所以BN⊥AC。

又AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC=A，所以BN⊥平面AA1C1C。

又AD?平面AA1C1C，所以AD⊥BN。

由題意，AA1=，AC=2，所以AN=

又因為∠A1AN =∠ACD=90°，所以△A1AN∽△ACD，則∠AA1N=∠CAD。

所以∠ANA1+ ∠CAD = ∠ANA1+∠AA1N=90°，則AD⊥A1N。

又BN ∩A1N =N，BN，A1N ?平 面A1BN，所以AD⊥平面A1BN。

總結(jié)：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論。（2）根據(jù)平面幾何知識得線線垂直，再根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理得線線垂直，最后根據(jù)線面垂直判定定理得線面垂直。（3）空間幾何垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：①要證明線面、面面平行，只需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；②要證明線面垂直，只需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；③要證明線線垂直，只需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直。