立體幾何易錯(cuò)點(diǎn)透視

■山東省沂南縣第二中學(xué) 賀小兵

本文通過對(duì)立體幾何中常見的易錯(cuò)題進(jìn)行歸納總結(jié)，結(jié)合立體幾何中幾類典型問題進(jìn)行分析，幫助同學(xué)們糾正錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，提高正確解題能力。

考向1:線線、線面、面面關(guān)系

空間中線線、線面、面面關(guān)系是立體幾何的核心內(nèi)容，其中又以線面的平行與面面的垂直問題為重點(diǎn)。

例1如圖1，四邊形ABCD 是平行四邊形，平面AED ⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE =，DE=3，∠BAD=60°，G 為BC 的中點(diǎn)。求證：平面BED⊥平面AED。

圖1

證明：在△ABD 中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理得BD =，進(jìn)而可得∠ADB=90°，即BD ⊥AD。又因?yàn)槠矫鍭ED⊥平面ABCD，BD?平面AED，平面AED∩平面ABCD=AD，所以BD ⊥平面AED。又因?yàn)锽D?平面BED，所以平面BED⊥平面AED。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：本題易出錯(cuò)的原因：一是BD⊥AD 沒有給出確切的證明過程，同學(xué)們?cè)谧C明線線垂直時(shí)，易忽略利用余弦定理或勾股定理，求三角形邊長之間的關(guān)系；二是書寫格式不規(guī)范，對(duì)于線面垂直、面面垂直判定定理的使用，關(guān)鍵點(diǎn)不寫出，例如，本題中的平面AED∩平面ABCD=AD 沒有寫，導(dǎo)致過程分拿不到。

小結(jié)：同學(xué)們要掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化。熟練掌握線面平行、面面垂直的判定和性質(zhì)是迅速解題的關(guān)鍵。

考向2:空間角

從近幾年高考全國Ⅰ卷理科命題趨勢(shì)來看，立體幾何解答題第一問通常考查線線、線面、面面關(guān)系，第二問通常考查空間角，即異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角。

例2如圖2，四邊形ABCD 為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn) 是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；

（2）求直線AE 與直線CF 所成角的余弦值。

圖2

解析：（1）如圖3，連接BD，交AC 于G，連接GE，GF。在菱形ABCD 中，有AC⊥BD。不妨設(shè)GB=1，又∠ABC=120°，可得AG。又AE ⊥EC，所以

圖3

因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，因?yàn)锳C⊥BG，BE∩BG=B，所以AC⊥平面BEG，所以AC ⊥GE。同理可證AC ⊥GF，所以∠EGF 是二面角E-AC-F 的平面角。在直角梯形FDBE 中，EF2=BD2+所以GE⊥GF。所以二面角E-AC-F 的平面角為90°，故平面AEC⊥平面AFC。

圖4

易錯(cuò)點(diǎn)分析：證明面面垂直可轉(zhuǎn)化為二面角E-AC-F 的平面角為直角或者是兩個(gè)平面的法向量互相垂直。本題易出錯(cuò)的原因：一是利用傳統(tǒng)方法，找不到二面角的平面角；二是利用向量法，不能建立合適的空間直角坐標(biāo)系；三是忽略兩條直線的夾角的取值范圍是

小結(jié)：掌握求二面角大小傳統(tǒng)方法的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，然后構(gòu)造三角形求解，即“一作二證三求”。向量法需利用空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量的夾角，再判斷其與二面角的平面角的關(guān)系。求空間線線角的傳統(tǒng)方法是將相關(guān)的線進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭妻D(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中求解，關(guān)鍵在于平移空間的直線。向量法需利用空間直角坐標(biāo)系，求兩直線的方向向量的夾角，再判斷其與直線夾角的關(guān)系。

考向3：空間距離的向量求法

例3如圖5，四棱錐F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其對(duì)角線AC=2，BD =，AE，CF 都與平面ABCD 垂直，AE=1，CF=2。求點(diǎn)E 到平面ABF的距離。

圖5

解析：以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為y 軸，z 軸的正方向，建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則F（0，2，2）。

圖6

小結(jié)：求點(diǎn)面距離的傳統(tǒng)方法是構(gòu)造直角三角形求解，其關(guān)鍵又是面的垂線問題。對(duì)于圖形中含有垂直關(guān)系的點(diǎn)面距離問題，可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到面的距離公式求解。還可以用“等體積法”求出點(diǎn)到面的距離。

考向4:平面圖形折成立體圖形，立體圖形展開成平面圖形

例4正△ABC 的邊長為a，將它沿平行于BC 的線段PQ 折起（其中P 在AB邊上，Q 在AC 邊上），使平面APQ ⊥平面BPQC。若折疊后，A，B 兩點(diǎn)間的距離為d，求d 的最小值。

解析：如圖7，作AD ⊥PQ 于D，則D 為PQ 的中點(diǎn)。因?yàn)槠矫鍭PQ ⊥平面BPQC，則 AD ⊥ 平面PBCQ。連接BD，則d2=AD2+BD2。設(shè)AD=x，則（E 為BC 的中點(diǎn)），于是因此

圖7

易錯(cuò)點(diǎn)分析：該題考查同學(xué)們的作圖能力，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)折疊前后的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，列出AB 的表達(dá)式。希望同學(xué)們能在平時(shí)的學(xué)習(xí)中多加訓(xùn)練自己的空間想象能力和運(yùn)算求解能力。

小結(jié)：解決此類折疊問題，需要明確哪些量變了，哪些量不變，然后根據(jù)題目中相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，列出表達(dá)式，同時(shí)利用函數(shù)的性質(zhì)，求出最值。所以當(dāng)