立體幾何中翻折問題的處理策略

■河南省平頂山市第一高級(jí)中學(xué) 肜 彬

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，圖像的翻折是立體問題中的一類典型問題，是連接平面幾何與空間幾何的紐帶，成為立體幾何中考查分析能力與創(chuàng)新能力的好素材，備受命題者的青睞。立體幾何翻折問題是指將平面圖形沿著平面圖形中的某條或幾條線段將平面圖形翻折，使之變成空間幾何體，以此為載體，考查空間中點(diǎn)、線、面之間的相互關(guān)系，或角度與距離關(guān)系。現(xiàn)將翻折問題中的幾類常見題型進(jìn)行剖析，以其對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考能有所幫助。

一、翻折后位置關(guān)系的判定

例1如圖1，在直角梯形ABCD 中，BC⊥CD，AE⊥DC，且E為CD 的中點(diǎn)，M，N 分別是AD，BE 的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE 沿AE 所 在 的 直線折起，則下列說法正確的是___。（寫出所有正確說法的序號(hào)）

圖1

①不論D 折至何位置（不在平面ABC內(nèi)），都有MN∥平面DEC；

②不論D 折至何位置（不在平面ABC內(nèi)），都有MN⊥AE；

③不論D 折至何位置（不在平面ABC內(nèi)），都有AB∥MN；

④在折起過程中，一定存在某個(gè)位置，使EC⊥AD。

解析：由已知，在未折疊的原直角梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四邊形ABED 為平行四邊形，所以BE=AD，折疊后如圖2 所示。

①過點(diǎn)M 作MP∥DE，交AE 于點(diǎn)P，連接NP。因?yàn)镸，N分別是AD，BE 的中點(diǎn)，所以P為AE 的中點(diǎn)，故NP∥EC。又MP∩NP=P，DE∩EC=E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正確。

圖2

②由已知，AE ⊥ED，AE ⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP。又MP∩NP=P，所以AE⊥平面MNP。又MN ?平面MNP，所以MN⊥AE，②正確。

③假設(shè)MN∥AB，則MN 與AB 確定平面MNBA，從而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA，與BE 和AD 是異面直線矛盾，③錯(cuò)誤。

④當(dāng)EC⊥ED 時(shí)，EC⊥AD。因?yàn)镋C⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED=E，所以EC⊥平面AED。因?yàn)锳D?平面ADE，所以AD⊥EC，④正確。

綜上，說法正確的是①②④。

點(diǎn)評(píng)：解題的前提和必要步驟是分析清楚翻折前平面圖形的結(jié)構(gòu)特征，以及翻折前后圖形中變與不變的量，特別要注意不變中的直角。

二、翻折后角度的計(jì)算

例2如圖3，在四邊形ABCD 中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E，F(xiàn) 分別在BC，AD 上，且E 為BC 的中點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形ABEF 沿EF 所在的直線折起，使二面角A-EF-D 的大小為60°，如圖4，求直線AF 和平面ACD 所成角的正弦值。

圖3

圖4

解析：由已知可知，折疊后仍有EF ⊥AF，EF⊥FD，AF∩FD=F，則EF⊥平面AFD，所以∠AFD 為二面角A-EF-D 的平面角，即∠AFD=60°。

如圖5，過點(diǎn)A 作AO⊥FD 于點(diǎn)O，因?yàn)锳O ⊥EF，所 以AO ⊥平面CDFE。

過點(diǎn)O 作OM ⊥CD，垂足為M，連接AM，由三垂線定理得AM ⊥CD，所以CD⊥平面AOM，過點(diǎn)O 作ON ⊥AM 于點(diǎn)N，則ON⊥CD，所以O(shè)N ⊥平面ACD，即ON為點(diǎn)O 到平面ACD 的距離。

圖5

點(diǎn)評(píng)：翻折后首先要確定線段的長(zhǎng)度與角度中不變的量，再計(jì)算變化的量，其次確定關(guān)鍵點(diǎn)A 的位置，也就確定了點(diǎn)A 在底面上的投影，從而翻折后形成的空間圖形的結(jié)構(gòu)也就確定了，這樣就可方便以后的計(jì)算與證明。

三、翻折后距離的計(jì)算

例3如圖6，已知正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn) 分別為AB，CD 的中點(diǎn)，將△DEA 沿DE 所在的直線折起，使得點(diǎn)A在平面DCBE 上的投影落在直線EF 上，如圖7，求點(diǎn)C 到平面ADE 的距離。

圖6

圖7

解析：如圖8，在正方形ABCD 中，設(shè)M為BC 的中點(diǎn)，連接AM 分別交EF，ED 于點(diǎn)N，G，由 Rt△AED ≌Rt△BMA，得∠AEG+∠EAG=∠AEG+∠ADE=90°，即AM ⊥ED。

在 圖9 中，AG ⊥DE，MG ⊥DE，因 為AG∩MG=G，所以ED ⊥平面AGM，所以平面DCBE⊥平面AGM，所以點(diǎn)A 在平面DCBE 上的投影落在直線GM 上，由題設(shè)可知點(diǎn)A 在平面DCBE 上的投影落在直線EF上，所以點(diǎn)A 在平面DCBE 上的投影落在直線GM 與EF 的交點(diǎn)上，即點(diǎn)N。

圖8

圖9

點(diǎn)評(píng)：處理翻折問題時(shí)，一定要將翻折前后的圖形相對(duì)照進(jìn)行分析，找準(zhǔn)翻折前后中的不變量，弄清哪些要在原平面圖形中進(jìn)行計(jì)算，哪些要在翻折后的立體圖形中進(jìn)行計(jì)算，這是處理翻折問題的一般性方法。

立體幾何解題的根本思想是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，解決翻折問題時(shí)，首先要根據(jù)題目的要求正確畫出由平面圖形折成的空間圖形，即由平面圖形轉(zhuǎn)化成空間圖形。在解題過程中，往往根據(jù)問題的需要再把空間圖形還原成平面圖形，對(duì)比平面圖形和空間圖形，找準(zhǔn)翻折的起點(diǎn)與翻折的程度，弄清翻折過程中的變與不變的量進(jìn)行求解，這是處理翻折問題的關(guān)鍵。