二面角問題易錯點透視

■安徽省太和中學 姜翠翠

本文通過對立體幾何中有關二面角問題常見的易錯題進行歸納總結，結合近幾年全國卷中立體幾何類題目的考向，幫助同學們糾正錯誤認識，提高正確解題能力。

一、不會建立適當的空間直角坐標系

例1（2020 年高考全國Ⅰ卷理）如圖1，D 為圓錐的頂點，O 是圓錐底面圓的圓心，AE 為底面圓的直徑，AE =AD?！鰽BC 是底面的內接正三角形，P 為DO 上一點，PO

圖1

（1）證明：PA⊥平面PBC；

（2）求二面角B-PC-E 的余弦值。

解析：（1）設DO=a，由題設可得PO=因 此PA2+PB2=AB2，從 而PA ⊥PB。

又PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC。所以PA⊥平面PBC。

圖2

易錯點分析：本題出錯的原因主要有兩個：一是不能合適地建系；二是C 點的坐標不會求或求錯。題中未給出具體長度，需要指定單位長度。

小結：求二面角的大小的關鍵是作出二面角的平面角，然后構造三角形求解，即“一作二證三求”。向量法需利用空間直角坐標系，求兩個平面法向量的夾角，再判斷其與二面角平面角的關系。一般地，若設n，m 分別是平面α 與平面β 的法向量，則平面α 與平面β 所成的二面角θ 滿足（當二面角為銳角或直角時）或cosθ=（當二面角為鈍角時），其中銳角或鈍角需根據圖形確定。

二、二面角的正弦值和法向量夾角的余弦值之間的關系模糊不清

圖3

例2（2020年高考天津卷）如圖3，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點D，E 分別在棱AA1和CC1上，AD=1，CE=2，M 為 棱A1B1的中點。

在外邊飛著滿天的大雪，我和翠姨坐著馬車去買絨繩鞋。我們身上圍著皮褥子，趕車的車夫高高地坐在車夫臺上，搖晃著身子唱著沙啞的山歌：“喝咧咧……”耳邊的風嗚嗚地嘯著，從天上傾下來的大雪迷亂了我們的眼睛，遠遠的天隱在云霧里，我默默地祝福翠姨快快買到可愛的絨繩鞋，我從心里愿意她得救……

（1）求證：C1M ⊥B1D；

（2）求二面角B-B1E-D 的正弦值。

解析：依題意，以C 為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立 如 圖4所示的空間直角坐標系C-xyz，則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3）。

圖4

三、不能作出二面角的平面角

例 3（2020 年六盤山高級中學高三（理））如圖5，在四棱錐P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD，AD ∥BC，AD ⊥CD，且AD =

圖5

（1）求證：AB⊥PC。

（2）在線段PD 上，是否存在一點M，使得二面角M-AC-D 的大小為45°? 如果存在，求BM 與平面MAC 所成角的正弦值；如果不存在，請說明理由。

解析：（1）由已知得四邊形ABCD 是直角梯形。

又PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC。

（2）假設存在符合條件的點M。

如圖6，過點M 作MN ⊥AD 于N，則MN∥PA，所以MN ⊥平面ABCD，所以MN⊥AC。

過點M 作MG ⊥ AC 于G，連接NG，則AC⊥平面MNG，所以AC⊥NG，即∠MGN 是二面角M-AC-D的平面角。

圖6

易錯點分析：本題出錯的原因主要是不能準確作出二面角的平面角，依賴向量法解決二面角問題。

小結：本題屬于探究性問題，已知二面角的大小，可先通過作輔助線，由線面垂直的性質定理找出二面角的平面角。也可以結合圖形中的垂直關系建立空間直角坐標系，設出M 點的坐標，再利用向量夾角公式與二面角的余弦值建立等式關系求解。