創(chuàng)新視角下的立體幾何圖形變換問題

■江蘇省無錫市洛社高級中學(xué) 翟榮俊

立體幾何是高考的重要內(nèi)容，而圖形變換問題更是一類常考題型。圖形變換，使得立體幾何問題由“靜態(tài)”轉(zhuǎn)為“動態(tài)”，并在“動態(tài)”過程中生成新的問題加以考查同學(xué)們的空間想象能力和抽象思維能力，提升同學(xué)們的直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。圖形變換過程中，原圖形中的部分幾何元素的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，因此，如何合理分析變換前后圖形的關(guān)系，特別是抓住動態(tài)變換中的幾何關(guān)系的不變性及相互關(guān)系，是解決這類問題的關(guān)鍵。近年來，立體幾何中的圖形變換問題也出現(xiàn)了一些新的變化。本文旨在通過對立體幾何圖形中的變換問題進(jìn)行剖析，為2021 屆高三數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)提供一些參考。

視角一:平移無形變有形，優(yōu)化運(yùn)算顯本領(lǐng)

例1（2020年浙江模擬）如圖1，在多面體ABCDEF 中，四邊形ABCD 為菱形，且∠BAD=60°，在四邊形ADEF 中，AF∥DE，∠DAF = 90°，AD=DE=2AF=2，BE =2，M 為AB的中點(diǎn)。

圖1

（1）證明：直線FM∥平面EAC；

（2）求直線BF與平面EAC 所成角的正弦值。

解 析：（1）如圖2，過E 作EQ∥AD，與AF 的延長線交于點(diǎn)Q。因?yàn)锳F∥DE，可知四邊形ADEQ 為平行四邊形，連接BD 交AC 于點(diǎn)S，連接DQ 交AE 于點(diǎn)R，連接RS，所以，MS∥AD。

圖2

（2）取DE 的中點(diǎn)為N，連接CN，則BF∥CN。

連接BD 交AC 于點(diǎn)S，連接ES，因?yàn)镈E2+BD2=BE2，所以BD⊥DE。

又因?yàn)锳D ⊥DE，AD ∩BD=D，所以DE⊥平面ABCD。因?yàn)锳C?平面ABCD，所以AC⊥DE。又因?yàn)锳C⊥DB，BD ∩DE=D，所以AC⊥平面BDE。

所以平面BDE ⊥平面ACE，作DG ⊥SE 于點(diǎn)G，NH ⊥SE 于點(diǎn)H，則NH ⊥平面EAC，所以∠NCH 為直線CN 與平面EAC所成角，等于直線BF 與平面EAC 成角θ。

點(diǎn)評：本題是一道有一定難度的立體幾何問題，空間向量在本題中使用并不方便，解題的關(guān)鍵在于掌握圖形中的線面關(guān)系，通過平移變換，將線段AD 平移到QE，將線段BF 平移到CN，從而使得原來無形的線面角轉(zhuǎn)化為了有形的∠NCH?？梢娖揭谱儞Q，讓原本看似很困難的問題轉(zhuǎn)化為了同學(xué)們熟悉的考題，也將原本很難運(yùn)算的空間角問題變得比較方便，優(yōu)化了運(yùn)算。

視角二:旋轉(zhuǎn)線動成曲面，曲直結(jié)合益解題

例2（2020年山東濟(jì)南模擬）已知直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=將直角梯形ABCD（及其內(nèi)部）以AB 所在直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)90°，形成如圖3所示的幾何體，其中M為弧的中點(diǎn)。

圖3

（1）求證：BM ⊥DF；

（2）求異面直線BM 與EF 所成角的大小。

解析：（1）如圖4，連接CE，與BM 交于點(diǎn)N。

根據(jù)題意，該幾何體為圓臺的一部分，且CD與EF 相交，故C，D，F(xiàn)，E 四點(diǎn)共面。

因?yàn)槠矫鍭DF∥平面BCE，所以CE∥DF。

圖4

又BC=BE，所以BN ⊥CE，即BM ⊥CE，所以BM ⊥DF。

（2）連接DB，DN，由（1）知，DF∥EN 且DF=EN，所以四邊形ENDF 為平行四邊形，所以EF∥DN，所以∠BND 為異面直線BM 與EF 所成的角。

點(diǎn)評：本題是一道通過直角梯形旋轉(zhuǎn)得到曲面，進(jìn)而圍成幾何體的考題，讓同學(xué)們直觀感受圓臺（局部）的形成過程，動靜結(jié)合，考查了同學(xué)們的空間想象能力。兩個小題都是圍繞幾何體中的線線關(guān)系展開，考查同學(xué)們對于旋轉(zhuǎn)過程中不變量和不變關(guān)系的掌握，是否能熟練將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題加以研究和解決。

視角三:翻折化平面為立體，折前折后巧分析

例3（2020年湖北高考模擬）如圖5，在梯形ABCD 中，AB∥CD，過A，B 分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別E，F(xiàn)。AB=AE=2，CD=5，已知DE=1，將梯形ABCD沿AE，BF 同側(cè)折起，得到如圖6 所示的空間幾何體ADE-BCF。

圖5

圖6

（1）若AF ⊥BD，證明：DE ⊥平面ABFE；

解析：（1）由已知得四邊形ABFE 是正方形，且邊長為2，在圖6中，AF⊥BE。

由已知得AF⊥BD，BE∩BD=B，所以AF⊥平面BDE。

又DE?平面BDE，所以AF⊥DE。

又AE⊥DE，AE∩AF=A，所以DE⊥平面ABFE。

（2）在圖6中，因?yàn)锳E⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF=E，所以AE⊥面DEFC。

在梯形DEFC 中，過點(diǎn)D 作DM ∥EF交CF 于點(diǎn)M，連接CE。

由題意得DM=2，CM=1，由勾股定理可得DC⊥CF，則

因?yàn)镈E∥CF，則DC 與DE 垂直，所以CE=2，可得△CEF 為正三角形。

過E 作EG⊥EF 交DC 于點(diǎn)G，可知GE，EA，EF 兩兩垂直，以E 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為x 軸，y 軸，z 軸的正方向建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，1，所以

圖7

點(diǎn)評：這道考題通過翻折完成了由平面到空間的轉(zhuǎn)化，翻折過程由“動”到“靜”，考查同學(xué)們是否能正確分析翻折過程中哪些量是不變的，哪些量是改變的。處理此類翻折問題時，通常需要對照分析折前的圖形和折后的空間圖形，抓住翻折過程中的不變量和不變關(guān)系，這樣容易對有關(guān)線段、角的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系作出正確判斷。

視角四:割補(bǔ)解決局部問題，原有性質(zhì)要用好

例4（2020年湖南長沙模擬）如圖8，多面體ABC-DB1C1是正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面切除一部分所得，BC=CC1=1，D為AA1的中點(diǎn)。

（1）求證：BC1⊥平面B1CD；

（2）求點(diǎn)B1到平面BCD 的距離。

圖8

解析：（1）設(shè)BC1與B1C 交于點(diǎn)E，連接DE。

因?yàn)槎嗝骟wABC-DB1C1是正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，BC=CC1，所以四邊形BB1C1C 是正方形，四邊形CC1DA 和四邊形ABB1D 均為直角梯形，其中AB⊥AD，AC⊥AD。

因?yàn)镈 為AA1的中點(diǎn)，AA1平行且等于BB1，所以

因?yàn)镋 為BC1的中點(diǎn)，所以BC1⊥DE。

又因?yàn)锽1C⊥BC1，B1C∩DE=E，所以BC1⊥平面B1CD。

（2）設(shè)點(diǎn)B1到平面BCD 的距離為d。

因?yàn)閂三棱錐B1-BCD=V三棱錐D-BCB1，所 以點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離即為△ABC 邊BC 上的高，即為

點(diǎn)評：本題從一個三棱柱出發(fā)，通過切除一部分，完成由“靜”到“動”的割補(bǔ)過程，考查同學(xué)們對幾何圖形的理解能力，抓住割補(bǔ)變化后的不變性質(zhì)。在問題的設(shè)置上，重點(diǎn)考查同學(xué)們在理解原棱柱性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對局部圖形的研究。第（2）問的解答中，巧妙地引入了等體積法，將圖形變換中的體積轉(zhuǎn)換融入其中，再一次實(shí)現(xiàn)了由“靜”到“動”的靈活考查。

立體幾何中的圖形變換問題是高考考查的熱點(diǎn)問題，是平面幾何與空間幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)。縱觀近兩年的高考試題，圖形變換試題的靈活性越來越明顯，能力要求也越來越高。處理這類問題的關(guān)鍵是抓住變換前后兩圖的特征關(guān)系，特別是抓住變換過程中的不變元素。

總之，立體幾何中的圖形變換看似變化多端，實(shí)則有規(guī)律可循，解答圖形變換問題，需要同學(xué)們樹立信心，掌握解題的常用方法，積極深入地分析問題的特征，才能順利解答。