立體幾何中的探索性問題

■甘肅省嘉峪關市第一中學 盧會玉

立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結合，以某個幾何體為依托，分步設問，逐層加深。大部分問題都需要用向量工具解決，處理問題的原則是建模、建系。建模即需要將問題轉化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計算模型；建系是依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標系，再利用空間向量求解。探索性問題的類型較多，但一般都是需要探索某邊上是否存在某點且滿足某種關系，可采用先假設存在某點，再利用對應關系求解的辦法解決問題。常見的考查類型如下：

考向一:探索位置問題

例1如圖1，在四棱錐P-ABCD 中，PA ⊥ 平面 ABCD，∠ABC= ∠BAD =90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M 為PC 的中點。

（1）求異面直線AP，BM 所成角的余弦值；

（2）點N 在線段AD上，且AN=λ，若直線MN 與平面PBC 所成角的正弦值為求λ 的值。

圖1

分析：（1）先根據題意建立空間直角坐標系，求得的坐標，再利用線線角的向量方法求解；（2）由AN=λ，設N（0，λ，0）（0≤λ≤4），則=（-1，λ-1，-2），再求得平面PBC 的一個法向量，利用直線MN與平面PBC 所成角的正弦值為再結合求解。

解：（1）因為PA⊥平面ABCD，且AB，AD ?平 面ABCD，所 以PA ⊥AB，PA ⊥AD。又因為∠BAD=90°，所以AP，AB，AD 兩兩垂直，則以A 為坐標原點，AB，AD，AP 所在直線為x軸，y 軸，z 軸，建立如圖2 所示的空間直角坐標系A-xyz，由AD=2AB=2BC=4，PA=4，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4）。

圖2

（2）因為AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），則

考向二:探索線線垂直問題

例2如圖3，在三棱錐 P-ABC 中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2，E，G 分 別為PC，PA 的中點。

圖3

（1）求證：平面BCG⊥平面PAC；

（3）在（2）的條件下，求直線BE 與平面PBN 所成角的正弦值。

分析：（1）由BC⊥PA，BG⊥PA，得PA⊥平面BCG，即可得證；（2）由N 為線段AC上一點，利用向量可設λ，0），得λ，-2），再由PN ⊥BE 可確定λ 的取值；（3）求出平面PBN 的法向量n=（x，y，z），然后利用即可求解。

解：（1）因為PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PB ⊥BC。又AB ⊥BC，AB ∩BP=B，所以BC⊥平面PAB。又PA?平面PAB，則BC ⊥PA。又AB=PB=2，△PAB 為等腰直角三角形，G 為斜邊PA 的中點，所以BG⊥PA。又BG∩BC=B，所以PA⊥平面BCG。因為PA?平面PAC，則平面BCG⊥平面PAC。

（2）以B 為坐標原點，BA，BC，BP 所在直線為x軸，y 軸，z 軸，建立如圖4 所示的空間直角坐標系B-xyz，則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，，1），則設由PN ⊥即6λ-2=0，得λ=因此

圖4

考向三:探索面面垂直問題

例3如圖5，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，E，F 分別為棱AB，B1C1上的點，AE=2EB，C1F=2FB1。

（1）求證：EF ∥平面AA1C1C。

圖5

（2）試問：在線段AC 上是否存在一點G，使面EFG ⊥面AA1C1C? 若存在，求出AG 的長；若不存在，請說明理由。

分析：（1）以A1為坐標原點，A1D1，A1B1，A1A 所在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系。根據向量的坐標可得由此可證EF∥平面AA1C1C。也可利用直線 EF 與平面AA1C1C 的法向量垂直來證明EF ∥平面AA1C1C。（2）將問題轉化為線段AC 上是否存在一點G，使EG⊥AC，則問題不難求解。

解：（1）如圖6 所示，以A1為坐標原點，A1D1，A1B1，A1A 所 在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系A1-xyz，則A1（0，0，0），B1（0，2，0），C1（2，2，0）。設A（0，0，a），則所以

圖6

（2）線段AC 上存在一點G，使面EFG⊥面AA1C1C。

考向四:探索二面角問題

例4如圖7，底面四邊形ABCD 是邊長為3 的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF ∥DE，AD ⊥DE，，DE=3。

（1）求直線CA 與平面BEF 所成角的正弦值。

（2）在線段AF 上是否存在點M，使得二面角M-BE-D 的大小為60°? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

圖7

分析：（1）以D 為坐標原點，DA，DC，DE 所在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間坐標系，求出平面BEF 的法向量，結合空間向量線面角公式即可求解；（2）設M（3，0，t），，求出平面MBE 的法向量，利用是平面BED 的一個法向量，結合空間向量二面角公式即可求解。

解：（1）因為DA，DC，DE 兩兩垂直，所以以D為坐標原點，DA，DC，DE所在直線 為x 軸，y 軸，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，如圖8 所示，則A（3，0，0），F（3，0，2），

圖8

設平面BEF 的法向量為n=（x1，y1，z1），則令為平面BEF的一個法向量。

（2）假設線段AF 上存在點M 滿足條件，則可設M（3，0，t），0≤t≤2，則

設平面MBE 的法向量為m=（x2，y2，z2），則令y2=t，可得m=（3-t，t，3）為平面MBE的一個法向量。

故在線段AF 上存在點M，使得二面角M-BE-D 的大小為60°，此時

立體幾何這部分內容在高考中的考查情況總體上比較穩定，因此，復習備考時往往有“綱”可循，有“題”可依。在平時的學習中，要加強“一題兩法（幾何法與向量法）”及識圖訓練。要求能利用關鍵點或線的位置，將局部空間問題轉化為平面問題；能依托題中的垂直條件，建立適當的空間直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題。