立體幾何解答題科學備考新方向

■四川省綿陽實驗高級中學 余 強

從近幾年的高考命題情況分析，利用空間向量處理立體幾何問題仍是高考命題的熱點。通常在第（1）問考查直線與平面、平面與平面平行或垂直的判定；第（2）問考查線面角與二面角的求解，向量法是較好的解題方法，特別是在處理探索性問題時，向量法更具優勢。在2021年的復習備考中，特別要注意判定定理與性質定理中條件的完整性，這是解答題解題規范的基本要求。同時要掌握并會運用向量法求解空間角和距離問題，一是要特別重視坐標系的建立，建系的原則是簡潔清晰，便于表示相關點的坐標；二是要加強運算能力的訓練，熟練、準確的運算是完成解答題的基本要求。歷年來立體幾何的考查內容比較穩定，但由于在題型、試題材料背景、重要知識點的考法上具有較大的靈活性，近幾年立體幾何試題在命題設計與立意上不斷創新。下面結合部分最新模擬題介紹立體幾何試題變化的新趨勢，供同學們復習時參考。

方向1:特殊幾何體中的位置關系與空間角的求解

我們在平時的學習中碰到很多的立體幾何解答題，主要是以棱柱或者棱錐為載體進行考查，而近幾年高考是以圓錐為載體考查了線面垂直的位置關系和二面角的計算。解決這類問題，需要我們對于一些特殊幾何體（如圓柱、圓錐、正四面體等）的相關性質有深刻的認識，在平時復習中需要我們關注。

例1（河南省中原名校聯盟2020—2021 學年高三第一次質檢）如圖1，S 為圓錐的頂點，O 為底面圓心，點A，B 在底面圓周上，且∠AOB=60°，C，D 分別為SB，OB 的中點。

（1）求證：AC⊥OB；

圖1

（2）若圓錐的底面半徑為2，高為4，求直線AC 與平面SOA 所成的角的正弦值。

解析：（1）由題意知SO⊥底面圓O，C，D分別為SB，OB 的中點，所以CD∥SO，CD⊥底面圓O。

因為OB 在底面圓O 內，所以OB⊥CD。

因為∠AOB=60°，所以△AOB 為正三角形。

又因為D 為OB 的中點，所以OB⊥AD。

又AD∩CD=D，且AD ?平面ACD，CD?平面ACD，所以OB⊥平面ACD。

又因為AC ?平面ACD，所以AC⊥OB。

（2）如圖2，以D 為坐標原 點，DA，DB，DC 所在直線為x 軸，y 軸，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，由題意可知A（，0，0），C（0，0，2），O（0，-1，0），S（0，-1，4），故0，2）

圖2

評注：解答本題需要同學們熟悉圓錐的定義和性質：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉360 度而成的曲面所圍成的幾何體叫作圓錐，旋轉軸叫作圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫作圓錐的底面。

方向2:空間角的探索性和最值問題

立體幾何中的存在性問題主要包括兩類：一類是與空間平行、垂直等位置關系有關的存在性問題；另一類是與空間角有關的存在性問題。向量法是解決此類問題的常用方法，它可以將幾何存在問題轉化為代數方程是否有解等問題。

例2（湖南省百校聯考2020—2021 學年高三上學期月考）如圖3，已知AC⊥BC，DB⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，過點D 且垂直于DB 的平面α 與平面BCD的交線為l，AC=BD=1，AE=2。

圖3

（1）證明：l⊥平面AEC；

（2）設P 是l 上任意一點，求平面PAE與平面ACD 所成銳二面角的最小值。

解析：（1）因為BD⊥α，BD⊥平面ABC，所以α∥平面ABC。

又α∩平面BCD=l，平面ABC∩平面BCD=BC，所以BC∥l。

因為EA⊥平面ABC，所以BC⊥AE。

又BC⊥AC，AE∩EA=A，所以BC⊥平面AEC，從而l⊥平面AEC。

（2）以C 為坐標原點，CB，CA 所在直線為x 軸，y 軸，過C 與AE平行的直線為z 軸，建立如圖4所示的空間直角坐標系C-xyz，由題意可知A（0，1，0），C（0，0，0），D（，0，1），E（0，1，2）。設P（a，0，1），則

圖4

設平面PAE 的法向量為m=（x1，y1，z1），則得y1=a，z1=0，即m=（1，a，0）。

設平面ACD 的法向量為n=（x2，y2，z2），則令x2=1，得

評注：探索性問題的求解策略：①條件追溯型。一般是先假設結論成立，然后把該結論作為一個已知條件，再結合題目中的其他已知條件逆推，一步一步推出所要求的條件，此時要注意推理的可逆性，不要默認所有的條件都是充要條件。例如，涉及線段上點的位置的探索性問題，一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，所求點大多為中點或三等分點，也可以根據相似的知識找點，求解時注意三點共線條件的應用。②存在探索型。首先假定題中的數學對象存在（或結論成立），然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論。例如，借助空間直角坐標系，把幾何對象上動態點的坐標用參數（變量）表示出來，將幾何對象坐標化，這樣根據所要滿足的題設要求得到相應的方程或方程組，若方程或方程組有滿足題設要求的解，則通過參數的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組沒有滿足題設要求的解，則表示滿足題設要求的幾何對象不存在。

方向3:折疊問題

折疊問題是高考立體幾何問題中的常客，按照某種要求把一個平面圖形折起，轉化為空間圖形，進而研究圖形在位置關系和數量關系上的變化，這就是折疊問題。解決折疊問題時，要注意折疊前后的變量與不變量，折疊前后同一半平面內的數量關系與位置關系均不發生變化。

例3（卓越聯盟2020—2021 學年新高考省份高三檢測）如圖5所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD，∠BAD =90°，DC=2AB，AD =AB，E 為BC 的中點，連接DE，將△DEC 沿著DE 翻折成圖6 所示的四棱錐C-ABED，使得AB。

圖5

圖6

（1）證明：平面CDE⊥平面ABED。

（2）求二面角D-BC-A 的余弦值。

解析：（1）在Rt△ABD 中，由AD =AB，可得

在直角梯形ABCD 中，可得BC=CD=2AB，所以△BCD 為等邊三角形。

又因為E 為BC 的中點，可得DE⊥BC，所以CE⊥DE。

又因 為DE ∩BE=E，BE，DE ?平 面ABED，所以CE⊥平面ABED。

因為CE?平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABED。

（2）由（1）可知CE⊥EB，DE⊥BE，CE⊥DE，所以以E 為坐標原點，ED，EB，EC 所在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建 立 如圖7所示的空間直角坐標系E-xyz。

圖7

設平面ABC 的法向 量 為n=（x1，y1，z1），由令得即n=（-1，

設平面BCD 的法向量為m=（x2，y2，z2），由令z2=得即

評注：解決翻折問題的核心在于抓住兩個圖形的特征關系，并弄清翻折前后哪些量發生了變化，哪些量沒有發生變化。準確把握平面圖形翻折前后的兩個“不變關系”：與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關系不改變；與折痕平行的線段，翻折前后平行關系不改變。一般情況下，折痕同一側的量保持著原有的數量關系和線線關系，抓住這些不變量和不變關系是解決翻折問題的關鍵。不變的線線關系（尤其是圖形中線線平行、線線垂直關系）是研究空間位置關系的重要依據；不變的數量關系是求解幾何體的數字特征的基礎。例如，空間幾何體的表面積、體積、空間角、距離、長度等。根據不變量和不變關系，利用有關定理、公式進行推理和計算，從而解決問題，同時注意轉化與化歸思想在此類問題中的應用。

從近幾年的高考數學試題可以看出，立體幾何的考題依然堅守“重視通性通法，淡化技巧”，這為我們的備考指明了一個明確的方向：高考數學備考不宜過難過偏，要多從歸納解題通法的角度去進行備考。每年高考數學試卷中的立體幾何解答題都主要采用“論證與計算”相結合的模式，即先利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進行空間角的計算，重在考查邏輯推理能力及計算能力。同學們想要掌握立體幾何的解題思路，就要立足“奠基、形象、圖解、取巧”四個方面進行訓練，只有在實戰訓練中養成邏輯清晰的思路，才能在高考中“扣核心，抓重點，費時少”，達到高效解題的目的。