數(shù)學建模在高中數(shù)學課堂教學中的實踐*
——“數(shù)據(jù)擬合”的課例及反思

江蘇省無錫市第一中學(214031) 何晨良 劉 峰

《普通高中數(shù)學課程標準(2017 版)》(以下簡稱“課標”)指出“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學.數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象,基于抽象結構,通過符號運算、形式推理、模型構建等,理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質、關系和規(guī)律.數(shù)學與人類生活和社會發(fā)展緊密關聯(lián).數(shù)學不僅是運算和推理的工具,還是表達和交流的語言.數(shù)學承載著思想和文化,是人類文明的重要組成部分.數(shù)學是自然科學的重要基礎,并且在社會科學中發(fā)揮越來越大的作用,數(shù)學的應用已滲透到現(xiàn)代社會及人們日常生活的各個方面.隨著現(xiàn)代科學技術特別是計算機科學、人工智能的迅猛發(fā)展,人們獲取數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力都得到很大的提升,伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來,人們常常需要對網(wǎng)絡、文本、聲音、圖像等反映的信息進行數(shù)字化處理,這使數(shù)學的研究領域與應用領域得到極大拓展.數(shù)學直接為社會創(chuàng)造價值,推動社會生產力的發(fā)展[1].”

2019年11 月29-30 日,“全國第12 屆數(shù)學方法論與數(shù)學教育學術研討會暨MM 課題實施30年紀念活動”在江蘇省無錫市第一中學舉行,筆者展示了一節(jié)“數(shù)據(jù)擬合”的觀摩課,榮獲課堂觀摩一等獎,受到了與會專家和老師的好評,現(xiàn)將課堂教學實錄分享給大家,望請指正.

本文中所用圖形計算器型號為HP Prime,以下簡稱圖形計算器.

1 課堂實錄

1.1 引入

教師: 現(xiàn)實世界中的實物都是相互聯(lián)系、相互影響的,反映事物變化的變量之間就存在著一定的關系.這些關系的發(fā)現(xiàn),通常是通過試驗或實驗測定得到一批數(shù)據(jù),在經(jīng)過分析處理得到的.

數(shù)據(jù)擬合就是研究變量之間這種關系,并給出近似的數(shù)學表達式的一種方法.

我們不妨從具體問題體驗一下數(shù)據(jù)擬合的過程,首先我們來看下例1.

1.2 例題示范與探究

例1下表給出了八大行星離太陽的距離和他們運行的周期,試建立這兩組數(shù)據(jù)之間的關系.

水星金星地球火星土星木星天王星海王星距離/1066km 57.9 108.2 149.6 227.9 778.3 1427 2870 4497周期/d 88 225 365 687 4329 10753 30660 60150

教師: 你能否用數(shù)學的語言將問題翻譯一下?

學生1: 如果把距離看成橫坐標,周期看成縱坐標,這8組數(shù)據(jù)就是8 個點的坐標,題目就是問這8 個點滿足的函數(shù)解析式.

教師: 到目前為止,我們已經(jīng)學習過哪些函數(shù)模型?

學生2: 我們目前學習過的函數(shù)模型有: 一次函數(shù)模型:y=kx+b(k ?= 0);反比例型函數(shù)模型:二次函數(shù)模型:y=ax2+bx+c(a ?= 0); 三次函數(shù)模型:y=ax3+bx2+cx+d(a ?= 0); 指數(shù)型函數(shù)模型:y=b·ax+c(b ?= 0,a ＞0 且a ?= 1); 對數(shù)型函數(shù)模型:y=mlogax+n(b ?=0,a ＞0 且a ?=1);冪函數(shù)型函數(shù)模型:y=axn+b(a ?=0,n ?=1).

教師: 在圖形計算器中按Apps 鍵進入主菜單,在主菜單中點擊雙變量統(tǒng)計,按Mun 鍵,在C1 中輸入距離的前7 個值,再依次在C2 中輸入周期中的前7 個值(圖1),點擊Plot鍵,得到了散點圖(圖2).

圖1

圖2

教師: 由這7 個點的趨勢,我們可以嘗試選擇哪個或哪些函數(shù)模型來擬合? 老師示范操作時只輸入了7 個點的坐標,第8 組數(shù)據(jù)并沒有輸入,為什么?

學生: 可選擇二次函數(shù)、三次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)擬合.

教師: 點擊Symb 鍵,從圖形計算器擬合的圖像上看(圖3-圖11),除指數(shù)型函數(shù)模型明顯不符外,其他函數(shù)模型都用可能,那到底哪個函數(shù)模型更合適呢? 現(xiàn)在大家知道老師留著第8 組數(shù)據(jù)的用途了嗎?

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

學生: (齊答)檢驗.

教師: 我們用第8 組海王星的數(shù)據(jù)去驗證, 按CAS 鍵,按1 雙變量統(tǒng)計, 按2PredY鍵, 輸入4497, 用二次函數(shù)擬合得到64292.2, 用三次函數(shù)模型擬合得到54719.9, 用冪函數(shù)模型擬合得到60108.0(圖11),由這些數(shù)據(jù),你能找到最為合適的函數(shù)模型了嗎? 題中兩組數(shù)據(jù)的關系如何表達?

圖11

學生4: 很明顯用冪函數(shù)模型模擬計算海王星的周期值60108 與60150 最為接近, 也就是說用冪函數(shù)模型模擬出的結果最好, 用冪函數(shù)模擬出的解析式為y= 0.20019066x1.49948104≈0.2x1.5.也就是說題中所給兩組數(shù)據(jù)近似滿足周期≈0.2×x1.5(x表示距離).

1.3 歸納數(shù)據(jù)擬合的步驟

教師: 對于實際問題,我們首先要對問題中變化過程進行分析,收集相關數(shù)據(jù),結合例1,我們可以小結出數(shù)據(jù)擬合的一般步驟:

(1)收集數(shù)據(jù);

(2)作圖: 根據(jù)已知數(shù)據(jù),畫出散點圖;

(3)選擇函數(shù)模型: 一般是根據(jù)散點圖的特征,聯(lián)想哪些函數(shù)具有類似的圖像特征,找出幾個比較接近的函數(shù)模型嘗試;

(4)求出函數(shù)模型: 求出(3)中找到的幾個函數(shù)模型的解析式;

(5)檢驗: 將(4)中找到的幾個函數(shù)模型進行比較、驗證,得到相對合適的函數(shù)模型;

(6)應用: 利用所求出的函數(shù)模型解決問題.

1.4 知識鏈接

函數(shù)y= 0.2x1.5,這其實就是天文學、物理學中非常重要的開普勒第三定律的數(shù)學表達式,它揭示了“公轉時間的平方與平均距離的立方成正比”這一天體運動規(guī)律.

開普勒(Johannes Kepler,1571年-1630年),德國杰出的天文學家、物理學家、數(shù)學家.他以數(shù)學的和諧性探索宇宙,在天文學方面做出了巨大成就.

開普勒在《宇宙諧和論》上的原始表述: 繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星,其各自橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是一個常量.

常見表述: 繞同一中心天體的所有行星的軌道的半長軸的三次方(R3)跟它的公轉周期的二次方(T2)的比值都相等,即=k,k為開普勒常數(shù),這是一個只與被繞星體有關的常量.

其中開普勒求直線斜率的放法是最小二乘法,最小二乘法也是數(shù)據(jù)擬合的最基礎的方法,用最小二乘法解決線性回歸方程是我們高二將要學習的內容.

1.5 小組探究、展示

問題: 今年11 月12 日凌晨,當阿里巴巴集團宣布2019年11 月11 日天貓雙十一購物節(jié)全天銷售額為2684 億時,11月12 日當天有很多媒體質疑天貓雙十一數(shù)據(jù)造假,老師收集了2009年至2018年這10年里天貓雙十一的銷售數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)如下:

年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018銷售額/億0.5 9.36 52 191 350 571 912 1207 1682 2135

請同學們用以上數(shù)據(jù)建立適當?shù)臄M合模型,試說明天貓雙十一數(shù)據(jù)是否有造假嫌疑.

學生5: 我們組將2009年至2018年這10年的銷售數(shù)據(jù)作為10 個點的坐標,用圖形計算計算器分別嘗試擬合了二次、三次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)模型,其中用二次函數(shù)模型擬合的解析式為y ≈30.09x2?94.15x+70.36,用此解析式計算的2019年的銷售額為2675.6 億,用三次函數(shù)模型擬合的解析式為y ≈0.1562x3+27.513x2?82.266x+56.963,用此解析式計算的2019年的銷售額為2688.9 億,2675.6 億、2688.9 億都比較接近天貓公布的銷售額2684 億,我們小組認為部分媒體的懷疑有一定道理.

教師: 從數(shù)據(jù)上看部分媒體的懷疑確實有一定道理,但若天貓的數(shù)據(jù)沒有造假,根據(jù)大家擬合的函數(shù),我們還能做些什么?

學生6: 用擬合所得到的二次函數(shù)計算2020年的銷售額為3273.5 億,用擬合得到的三次函數(shù)計算2020年的銷售額為3301.5 億,我們可以預估2020年天貓的銷售額將在3270至3300 億之間.

1.6 課堂小結

這節(jié)課我們從一個具體的數(shù)據(jù)擬合實例出發(fā),探索數(shù)據(jù)擬合的一般流程.一個完整的數(shù)據(jù)擬合過程至少要包括作圖、選擇函數(shù)模型、求解函數(shù)模型、檢驗這4 個步驟.從我們解決的實際問題來看,數(shù)據(jù)擬合既可以在基礎學科中起到輔助作用,又可以對對生產生活進行預測或控制.

希望通過這節(jié)課的學習,我們可以學會用數(shù)學的眼光觀察世界,用數(shù)學的思維思考世界,用數(shù)學的語言表達世界,將數(shù)據(jù)擬合應用到更廣闊的的學習、生活中去.

2 教學反思

2.1 核心素養(yǎng)不應停留在口號上

“課標”指出“數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括: 數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.”隨著信息技術的飛速發(fā)展,數(shù)學輔助工具在教學中的運用逐漸受到重視,尤其在目前大數(shù)據(jù)時代背景下,在重視數(shù)學建模的基礎上,在教學中借助數(shù)學輔助工具將為學生探索數(shù)學提供新的機會.

核心素養(yǎng)不是教師教出來的,而是在問題情境中借助問題解決的實踐培育起來的[2].整節(jié)課,師問生答,從例題的教師示范,學生模仿,再到練習的完全由學生小組探究,課堂逐步由“牽著學生走”變?yōu)椤胺砰_手讓學生自己走”,由“教師主導”向“以學生為中心”轉變,實現(xiàn)學生的自主學習,這也是課堂教學邁向核心素養(yǎng)的關鍵一步[3].

2.2 對數(shù)學建模課程的思考與建議

新課標對數(shù)學建模的要求,表明下一級段將在高中階段全面推進數(shù)學建模的教學, 但對于全國絕大部分高中而言,數(shù)學課程任然處于起步階,很多一線教師將“應用題的練習”等價于“數(shù)學建模”,不能理解數(shù)學建模的內涵.另一方面,很多參與數(shù)學建模的教師普遍感覺可用的數(shù)學建模資源不夠,使他們在教學中有“巧婦難為無米之炊”之感[4].

針對以上思考,筆者給出以下兩點建議:

第一,各高中學校加強對數(shù)學建模校本課程的開發(fā),教師在平時的教學過程中重視適合高中生的數(shù)學建模素材的積累與案例的開發(fā);

第二,加強圖形計算器等數(shù)字工具在數(shù)學建模中的運用,促使其對學生的學習產生積極的影響.