立體幾何教學之我見

廣東省高州市廣東高州中學(525200) 李文聰

數學核心素養是學生應具備的適應終生發展和社會發展需要的數學領域的必備品格和關鍵能力.根據新課程標準,當前高中數學的核心素養包括: 數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象與數據分析.立體幾何教學作為高中數學的重要內容,承擔著6 個核心素養培養的重要任務,其中直觀想象、運算能力與邏輯推理是教學的重點任務.培養學生的空間直觀感知能力,提高判斷空間幾何體中元素的位置關系,依據邏輯推理獲得空間結論,使學生構建空間元素與重要結論是立體幾何課的結構特點.

1 學生學習立體幾何中存在的主要問題

1.1 對立體幾何中涉及的基本概念、定理不清,理解不透徹

以必修1 第2 章第1 節為例,如: 學生無法準確給出空間中點、直線、平面的位置關系的概念,未能從點、直線、平面交點個數角度深刻理解它們的位置關系,未能準確理解空間中三個角(線線角、線面角)的基本概念.又如: 對線面(面面)平行(垂直)中的四個判定定理、性質定理理解不透且無法用數學語言準確表述,僅停留在初步感官認識,導致問題解決表述不清或者無法解決.

1.2 空間想象能力不足,作圖能力欠缺

因為高中立體幾何知識不同于初中平面幾何知識,更多的是對于學生想象能力的考驗,而學生本身的幾何知識水平仍停留在平面幾何階段,難以建立豐富的空間想象能力,從而阻礙了高中立體幾何的教學,同時由于幾何體的直觀圖和日常生活的圖形結構存在一定的差異性,使得學生對立體幾何的認知更加難以理解.如在直觀圖作圖中,現實中的矩形要畫成一個內角為45°,且長度有變化的平行四邊形.要把45°角看成90°角,這與學生原來的認知形成了激烈沖突,對學生的空間想象能力帶來了極大的挑戰.

1.3 知識儲備不足,解題能力欠缺

首先,學生平面幾何的知識儲備不足,對初中所學的平面幾何知識遺忘率高,導致無法找到解題切入點.

圖1

例1(2014年全國一卷第19 題的第1 問) 如圖三棱柱ABC ?A1B1C1中, 側面BB1C1C為菱形,AB ⊥B1C.

(I)證明:AC=AB1.

該題涉及等腰三角形中底邊上的中線與邊上的高重合這個知識點,忽視這個平面幾何知識將無法切入解題.

分析: 設BC1∩A1C=O,所以要證明AC=AB1,也就是要證明AO⊥B1C,轉化為線線垂直問題,進一步轉化為證明BC1⊥平面ABO,再利用菱形對角線互相垂直這個平面幾何知識結合條件AB⊥BC1,容易得證.

其次,學生利用傳統方法解決立體幾何空間量(線線角、線面角、二面角、距離)能力不足,過分依賴利用空間向量解決空間量問題.利用空間向量方法簡單明了,但若遇建系困難或求點坐標困難則無法推進解題過程,且利用向量法運算量過大,容易出錯.

2 基于高中數學核心素養培育的立體幾何教學策略

核心素養的形成與發展關鍵需要課堂教學具有針對性,在課堂教學中,能解決學生的“學什么,怎么學”以及教師的“教什么,怎么教”的絕大部分問題.核心素養的形成與發展,需要發揮課程的功能,即促進學習經驗的獲得、改造與固化.那么如何結合核心素養的培養, 進一步提升立體幾何的教學? 可以采取以下策略.

2.1 根據學生認知規律整合內容的基礎性和實用性

以必修1 第2 章第1 節為例,介紹了四個公理、三個推論以及證明及應用,這是立體幾何的基礎性內容,非常重要,但這對于一個普通高中學生來說,過于抽象,要想達到“應用”這些推論與公理,談何容易.此外,在我們的課程內容設計中,出現大量的線線、線面、面面等相互之間的特殊位置關系,但很少闡述我們是如何刻畫這些位置關系.面對這樣的困難,學生何來學習興趣? 以我之見,該部分內容雖具有很強的基礎性,但實用性應根據高中學生的認知規律,在具體教學過程中應當由淺入深,不宜過分強求在本節之內要求學生完全掌握,可以在以后的教學過程中穿插回顧鞏固.

看圖、作圖能力是學習立體幾何的基本能力要求,在講授直觀圖與三視圖時既要講清楚原理,更要設置足量的內容提升學生看圖、作圖能力,確保每個學生都掌握過關.還要注意補充部分平面幾何的知識,如三角形、平行四邊性性質,平行線分線段成比例定理等等,又如三垂線定理(逆定理)等等這樣能體現數學的簡潔美且能提升學生數學素養的結論也是非常值得補充的.

2.2 明確立體幾何知識的條理化和整體化,構建完整知識系統

立體幾何從知識結構上看,須把握整個知識的形成過程,在平面基本性質的基礎上,研究空間線線、線面、面面的位置關系.線線關系用于研究線面、面面關系,反過來研究線面、面面關系可以解決線線關系.這種對提升學生的分析問題能力和綜合應用能力有著深刻影響,對培養學生的化歸、轉化數學思想,強化學生的邏輯推理能力有著極大的幫助.

圖2 立體幾何知識樹導圖

以上為立體幾何知識樹導圖,這是高中學生必須掌握的立體幾何系統化知識,而立體幾何知識整體化的形成過程就必須建立在條理化的教師講解與學生學習的基礎上,這就要求教師在講解過程中必須對相關概念講解透徹,并加以強化訓練,以達到預期目標.例如在講解直線與直線之間的位置關系時,要抓住其位置關系分類的依據: 是否有交點? 若l1與l2有且只有一個交點,則l1與l2相交,若l1與l2沒有交點,則l1與l2平行或者異面.這里要突出是從交點個數這個角度去分析,并要注意引導學生區分在平面中直線沒有交點與在空間中沒有交點是有本質區別,從而在引出共面與異面直線這個分類,這是學生原有的認知水平與現學知識產生認知沖突的一個重要環節,也是培養學生空間想象能力的至關重要的一個環節.由此及彼,層層推進,利用類比方法開展小組合作探究活動,讓學生自主學習線面、面面關系.在直線與直線關系之中還有一個重要內容就是異面直線所成的角,在講授此知識點時要特別注意緊扣定義及角的范圍,設置適量訓練情境,讓學生感受立體幾何的化歸、轉化數學思想,將空間角轉化為平面角,從而提升學生的邏輯推理能力.

例2(2015年全國1 卷理科第18 題) 如圖3, 四邊形ABCD為菱形, ∠ABC= 120°,E,F是平面ABCD同一側的兩點,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC.

(I)證明: 平面AEC ⊥平面AFC;

(II)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

圖3

圖4

在第2 問的解答過程當中大部分學生都是用向量去解決的,增加了運算量,若緊扣空間角定義,將空間角轉化為平面角,解題將顯得更為便捷.

分析: 如圖 4,連結BD交AC于G, 取CE中點M, 取EF中點N, 連結MN,GM,GN, 易得AE//GM,MN//CF, 則∠GMN與直線AE與直線CF所成角相等或互補.

立體幾何知識的條理化和系統化需要貫穿于課堂教學,要落實在新課講授當中,且注意教材內容安排的遞進性以及解決問題方法的相似性.

2.3 深化知識機構,強化立體幾何的思想性,全面提升學生數學核心素養

2.3.1 合理利用空間向量解決立體幾何問題

空間向量用于求解空間量問題有著原理簡單這個獨特優勢,它是進入21 世紀之后增添進入我國立體幾何教材的,主要步驟就是建系和運算, 對解決空間量(空間角、空間距離)非常直接了當,也可以用于解決空間中線線、線面、面面的平行和垂直問題.

例3(2014年全國一卷第19 題) 如圖5: 三棱柱ABC ?A1B1C1中,側面BB1C1C為菱形,AB ⊥B1C.

(I)證明:AC=AB1.

(Ⅱ)若AC ⊥AB1,∠CBB1= 60°,AB=BC,求二面角A ?A1B1?C1的余弦值.

圖5

圖6

通過上文論述我們已經證明了AC=AB1.

分析: 因為AC⊥AB1且O為BC1的中點, 所以AO=CO, 又因為AB=BC, 所以?BOA∽= ?BOC,故OA⊥OB, 從而OA,OB,OB1兩兩垂直, 建立如圖6 空間直角坐標系, 設OB= 1, 因為∠CBB1=60°, 所 以?CBB1是等邊三角形, 又AB=BC, 則,B(1,0,0),B1設n= (x,y,z) 是平面AA1B1法向量, 則所以可取設m是平面A1B1C1法向量, 則同理可取則cos〈n,m〉=所以所求二面角的余弦值為

利用空間向量解決立體幾何問題,體現了向量的工具功能,有利于培養學生的建模能力,但從以上過程我們注意到以下幾點: ①建系過程中應用了三角形全等的平面幾何的知識; ②求法向量的過程當中,個別關鍵點坐標很難求解,故所用向量采用了等價代換(平面擴展或平面平行); ③要熟悉向量解決二面角的原理.也就是說即使利用向量解決立體幾何問題也不是孤立的存在,而是在此過程中嵌入了傳統的方法原理,這個過程同樣的體現了對學生空間想象能力,邏輯推理能力以及運算能力的高要求,所以我們必須要走出一個誤區,也就是用向量法一定比傳統方法簡單.

2.3.2 強化利用傳統方法(非向量)解決立體幾何問題

下面再來看看利用傳統方法(非向量)解法:

如圖7,所求二面角A?B1A1?C1與二面角B1?AB?C互補, 因為AO⊥BO,BC1為∠CBB1的平分線,BC1⊥面AOB,CO=B1O為,所以二面角B1?AB ?C平面角α的大小為二面角B1?AB ?O平面角θ的2 倍,如圖8,過O作角OM垂直AB于M,連結角B1M,由三垂線定理得角∠B1MO為二面角B1?AB ?O的平面角,設因為∠CBB1=60°,易得OA=OB=1,

圖7

圖8

圖9

圖10

如圖9,在Rt?BOA中再利用等面積即可求得OM=如圖10,在Rt?B1OM中可求得MB1=,sin ∠θ=所以cosα= cos 2θ= 1?2 sin2θ=所以二面角A ?A1B1?C1的余弦值為

這種解法邏輯推理嚴密, 知識綜合應用能力要求較高,能充分體現將空間問題轉化為平面問題(降維)的轉化、化歸思想,運算量適中.在利用傳統方法解決立體幾何的教學過程中,我們強調“數學知識——數學應用——數學推理”三個要素, 并以這三個要素為基礎形成數學知識呈現的基本過程,著重提高學生的數學探索和邏輯推理能力,突出數學思維的核心作用.

誠然,我們利用向量解決立體幾何問題思路便捷,充分體現了向量的工具作用,對培養學生的建模能力也是有很大的幫助,然而卻未能很好地體現立體幾何的深刻性.在引入了向量之后,不少教師過分強調向量方法,而忽視傳統方法的講解,這就導致學生知識結構的不完整,難以體會立體幾何的思想性、深刻性,難以培養空間想象能力,難以綜合應用數學知識解決實際問題.合理利用向量法解決立體幾何問題,充分講授立體幾何的傳統方法,深化知識機構,強化立體幾何的思想性,更有利于培養學生數學核心素養,培養學生終身學習的能力.

“路漫漫其修遠兮,吾將上下而求索”,在立體幾何教學過程中,在數學課堂中,如何落實學生數學核心素養的培養永遠在路上.