數(shù)學(xué)思考在計(jì)算中的價(jià)值研究*

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080) 程延清

伴隨著高考改革的步伐,全國(guó)卷在各省市高考中被廣泛采用,更加注重對(duì)學(xué)生能力的全面考查,突出對(duì)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)的考查,其中對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力有較高的要求,順應(yīng)高考改革與全國(guó)卷的要求,結(jié)合目前學(xué)生普遍計(jì)算能力偏弱的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,而計(jì)算能力作為數(shù)學(xué)能力的核心部分,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力成為了迫切的教學(xué)與現(xiàn)實(shí)需要.不同于小學(xué)和初中階段傾向于數(shù)與式的計(jì)算處理,高中階段更加注重字母符號(hào)運(yùn)算的處理,體現(xiàn)出數(shù)學(xué)計(jì)算中的思維能力和系統(tǒng)的把控能力,包括但不限于運(yùn)算法則應(yīng)用的合理性、簡(jiǎn)便運(yùn)算的靈活性、公式選擇的有效性、計(jì)算路徑選取的高效性.鑒于此,下面以幾個(gè)例子來具體闡述如何處理數(shù)學(xué)計(jì)算問題,讓思考成為計(jì)算的助推器.

1 數(shù)學(xué)公式選擇的有效性

例1求和Tn=23+25+···+22n?1.

分析: 由題意可知, 本題可以直接選用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算, 而等比數(shù)列求和公式有兩種表達(dá)形式:本題可直接代入公式即可求得結(jié)果.但學(xué)生如果選擇代入公式進(jìn)行計(jì)算,由于學(xué)生對(duì)公式中各個(gè)字母所表達(dá)含義的理解不透徹,則極易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.

典型錯(cuò)誤如:Tn= 23+ 25+···+ 22n?1=

主要原因在于學(xué)生對(duì)公式中n表示項(xiàng)數(shù)的概念不清晰,對(duì)公式生搬硬套,從而產(chǎn)生錯(cuò)誤,因此在計(jì)算前可以加強(qiáng)思考,選擇合適的公式進(jìn)行計(jì)算,以此提高計(jì)算的準(zhǔn)確性,如果我們選擇公式Sn=進(jìn)行計(jì)算,則

由于不用思考數(shù)列具體有幾項(xiàng),不但降低了思維的難度,也大大的提高了計(jì)算的速度和準(zhǔn)確性.因此,運(yùn)算前進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思考,提高數(shù)學(xué)公式選擇的有效性,間接地提升了數(shù)學(xué)計(jì)算的速度和效率.

例2在?ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求角B的取值范圍.(摘自2019 佛山調(diào)研測(cè)試題)

解: 由題意得:

本題解答過程中應(yīng)用了基本不等式,而基本不等式具有多種變式,在計(jì)算過程中容易出現(xiàn)典型錯(cuò)誤如下:

主要原因在于公式運(yùn)用過程中出現(xiàn)了邏輯錯(cuò)誤,反映出邏輯思維不嚴(yán)謹(jǐn),因此在計(jì)算前需合理選擇公式,同時(shí)要根據(jù)題目意圖進(jìn)行思考,提前設(shè)想利用基本不等式后可能出現(xiàn)的計(jì)算結(jié)果,預(yù)先觀察和聯(lián)想,對(duì)分子分母中可能會(huì)出現(xiàn)ac被消掉的情況進(jìn)行預(yù)判,以目標(biāo)引領(lǐng)思維,在計(jì)算前對(duì)公式的選擇要配合題目的目標(biāo)進(jìn)行, 結(jié)合對(duì)題意的思考和觀察,以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和有效性,通過提高計(jì)算能力間接培養(yǎng)了觀察力、聯(lián)想力和思維力.

2 計(jì)算路徑選取的高效性

例3已知橢圓是橢圓的左焦點(diǎn),過點(diǎn)P(?8,0) 作直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N, 求?MNF面積的最大值.

方法一(略解) : 設(shè)直線l的方程為y=k(x+8),點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2), 聯(lián)立直線與橢圓的方程得

令t=得故S?MNF的最大值為

通過分析方法一可以發(fā)現(xiàn),在具體計(jì)算

的過程中體現(xiàn)出簡(jiǎn)便運(yùn)算的有效性,避免了龐大的數(shù)字和繁雜的計(jì)算,有效的提高了計(jì)算效率.

方法二(略解) : 設(shè)直線l的方程為x=my ?8, 點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2), 聯(lián)立直線與橢圓的方程得

令t=得故S?MNF的最大值為

比較方法一和方法二最后求?MNF最大值的過程,可以發(fā)現(xiàn)方法二在處理變量分離時(shí)優(yōu)于方法一,簡(jiǎn)化了計(jì)算步驟,有效的降低了計(jì)算變換的難度,突破思維難點(diǎn),通過計(jì)算路徑的合理選擇提高了計(jì)算的速度和有效性.

方法三(略解) : 設(shè)直線l的方程為x=my ?8, 點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2), 聯(lián)立直線與橢圓的方程得

方法三從幾何特征出發(fā)進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化,利用∴S?MNF進(jìn)一步簡(jiǎn)化了?MNF面積的計(jì)算過程,通過對(duì)圖形中幾何關(guān)系的觀察以及計(jì)算路徑的合理選擇,進(jìn)一步提高了計(jì)算的速度和準(zhǔn)確性.從方法一到方法二,再到方法三,體現(xiàn)出計(jì)算思維的層層遞進(jìn),在規(guī)劃計(jì)算路徑之前,進(jìn)行積極的前置思考,以前置思考促進(jìn)計(jì)算策略的產(chǎn)生、設(shè)計(jì)合理的計(jì)算路徑,從而提高計(jì)算的高效性.另一方面,數(shù)學(xué)的計(jì)算能力絕不僅僅是單一能力,在計(jì)算能力提升過程中所涉及到的思考、簡(jiǎn)化運(yùn)算以及策略統(tǒng)籌安排等,無不體現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求以及多種知識(shí)能力的綜合應(yīng)用,其中涉及到的觀察能力、整體把控策略、轉(zhuǎn)化化歸能力也都從中得以體現(xiàn)和發(fā)展.

3 思維與計(jì)算的融合

在計(jì)算能力的提升和培養(yǎng)過程中,不僅僅只是計(jì)算能力的提升過程,也要求學(xué)生具備敏銳的觀察能力、整體代換和把控全局的意識(shí)、化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化化歸能力以及全過程的統(tǒng)籌能力,從中折射出學(xué)生處理問題的綜合能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),讓思考融入運(yùn)算,借助運(yùn)算促發(fā)思考,從思考中汲取計(jì)算養(yǎng)分,讓思考成為計(jì)算的翅膀,從計(jì)算思維中尋找快樂源泉,讓計(jì)算過程開出絢麗的思維之花.