數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下數(shù)據(jù)分析和運(yùn)算能力的培養(yǎng)

廣東省汕頭市潮陽(yáng)第一中學(xué)(515100) 劉振傳

學(xué)好高中數(shù)學(xué),需要基礎(chǔ)知識(shí)的積累、思想方法的掌握、聯(lián)想能力的提高、運(yùn)算求解能力的熟練應(yīng)對(duì).其中,以運(yùn)算求解能力尤為重要.

運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合.運(yùn)算包括對(duì)數(shù)值的計(jì)算和近似計(jì)算,對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式的變形,對(duì)幾何圖形相關(guān)幾何量的計(jì)算求解等.運(yùn)算求解能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過(guò)程中的思維能力,也包括在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算策略的能力.

在《2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明》第160 頁(yè)中,提到高中數(shù)學(xué)全國(guó)卷對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力的考查,不僅包括數(shù)的運(yùn)算,還包括式的運(yùn)算,兼顧對(duì)算理和邏輯推理的考查.考查是以含字母的式的運(yùn)算為主,包括數(shù)字的計(jì)算、代數(shù)式和某些超越式的恒等變形、集合的計(jì)算、解方程與不等式、三角恒等變形、求導(dǎo)運(yùn)算、概率計(jì)算、向量運(yùn)算和幾何圖形中的計(jì)算等.運(yùn)算結(jié)果具有存在性、確定性和最簡(jiǎn)性.高考中對(duì)運(yùn)算求解能力的考查主要體現(xiàn)在運(yùn)算的合理性、準(zhǔn)確性、熟練性、簡(jiǎn)捷性.

筆者經(jīng)多年教學(xué),對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)積累了不少經(jīng)驗(yàn),總結(jié)一些主要的方法,供同行參考.

1 “獨(dú)具慧眼”法

“獨(dú)具慧眼”法,就是觀察法,即從復(fù)雜的數(shù)據(jù)中,觀察得到部分答案,再利用這部分答案推算出其余答案,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程,快速計(jì)算出正確的答案,起到事半功倍的作用.例如: 如圖,四棱柱ABCD ?A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1⊥平面ABCD,M為棱DD1的中點(diǎn),N為棱AD的中點(diǎn),Q為棱BB1的中點(diǎn).(1) 證 明: 平 面MNQ// 平 面C1BD;

(2)若AA1=2AB,棱A1B1上有一點(diǎn)P, 且A1P=λA1B1(0＜λ ＜1) , 使得二面角P ?MN ?Q的余弦值為,求λ的值.

在第二問(wèn)中, 以D為坐標(biāo)原點(diǎn), 分別以線段DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系后,為方便計(jì)算,設(shè)AB= 2 可得如果將方程整理成一般的一元二次方程求解,顯然計(jì)算量大.可以觀察, 認(rèn)為左右兩邊分子、分母對(duì)應(yīng)相等, 得再去分母并兩邊平方得由韋達(dá)定理,類似“火中取栗”從這個(gè)方程抽取數(shù)據(jù)得最后由0＜λ ＜1 得

2 “欲擒故縱”法

“欲擒故縱”法, 即計(jì)算數(shù)據(jù)的開始, 先不進(jìn)行合并、約分、開方等運(yùn)算, 而是先做簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算, 最后才進(jìn)行合并、約分、開方等運(yùn)算,起到簡(jiǎn)化運(yùn)算,快速得結(jié)果的作用.例如: 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的6 個(gè)白球和4 個(gè)紅球.從中任摸4 個(gè)球,求摸到白球的個(gè)數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差.

設(shè)從中任摸4 個(gè)球,摸到白球的個(gè)數(shù)為η,則可得概率分布列為:

η 0 1 2 3 4 P 1 210 24 210 90 210 80 210 15 210

摸到白球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為:,方差為

從表格看出,如果將對(duì)應(yīng)的概率進(jìn)行約分,反而不方便.這里采取了“欲擒故縱”法,放長(zhǎng)線釣大魚,先列數(shù)計(jì)算,最后再約分,挺方便的.

3 “步步為營(yíng)”法

“步步為營(yíng)”法,即在數(shù)據(jù)較大的情況下,無(wú)法一下子觀察到化簡(jiǎn)的方法,而是一點(diǎn)一點(diǎn)“蠶食”數(shù)據(jù),經(jīng)多次化簡(jiǎn),容易得到結(jié)果.例如: 某高等院校為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系,“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選修該課的一些學(xué)生的情況,具體數(shù)據(jù)如下表:

專業(yè)性別男女合計(jì)非統(tǒng)計(jì)專業(yè)13 7 20統(tǒng)計(jì)專業(yè)10 20 30合計(jì)23 27 50

參考數(shù)據(jù)表:

P(K2 ≥k)0.50…0.05 0.025…k 0.455…3.814 5.024…

根據(jù)表中數(shù)據(jù),可得到k2= 4.84,由此判斷選修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系的可能性達(dá)到_____以上.

k2=這里的第一步先套用公式,第二步的分子可以提取100 與分母的100 約分,第三步將分母重新配湊,近似約分的近似值.這里用到估值計(jì)算.

4 “瞞天過(guò)海”法

“瞞天過(guò)海”法就是在計(jì)算過(guò)程中, 利用數(shù)據(jù)或公式的特征等方法, 比常規(guī)方法更簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確.但書寫時(shí), 還是按常規(guī)方法書寫.例如: 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n,則{an}的通項(xiàng)公式是____.

利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=na1+an=dn+(a1?d)的特征知道,Sn公式中n2前面的系數(shù)是公差的一半,an公式中n前面的系數(shù)是公差.因此,可先寫出“an= 2n”,再結(jié)合a1=S1= 4 得an= 2n+2.解答題時(shí),可以用an=Sn ?Sn?1列式,但寫答案時(shí)用上面方法,“瞞天過(guò)海”.

5 “金蟬脫殼”法

“金蟬脫殼”法, 就是在不影響結(jié)果的情況下, 舍棄“輜重”的數(shù)據(jù),抽絲剝繭出需要計(jì)算的數(shù)據(jù)或式子,簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.例如:

已知函數(shù)f(x) =ae2x+(a ?2)ex ?x.(1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn), 求a的取值范圍.(2017年新課標(biāo)I卷,21)

解(1)f(x)的定義域?yàn)??∞,+∞),f′(x) = 2ae2x+(a?2)ex ?1=(aex ?1)(2ex+1),(i)若a≤0,則f′(x)＜0,所以f(x) 在(?∞,+∞) 單調(diào)遞減.(ⅱ) 若a ＞0, 則由f′(x) = 0 得x=?lna.當(dāng)x ∈(?∞,?lna)時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)x ∈(?lna,+∞)時(shí),f′(x)＞0,所以f(x)在(?∞,?lna)單調(diào)遞減,在(?lna,+∞)單調(diào)遞增.

在第(2) 問(wèn)中, 令f(x) = 0, 分離變量a與x得換元令t= ex ＞0 得而f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則a=有兩解,即直線y=a與曲線y=有兩個(gè)交點(diǎn).令g(t) =(t ＞0),則g′(t) =這里恒有因此, 可以“金蟬脫殼”, 令h(t) = 1?t ?lnt, 則h′(t) =注意到h(1) = 0, 所以g(t) 在(0,1) 上單調(diào)遞增, 在(1,+∞) 上單調(diào)遞減, 即g(t)max=g(1) = 1,而所以當(dāng)t ∈(0,1) 時(shí),g(t)∈(?∞,1); 當(dāng)t ∈(1,+∞) 時(shí),g(t)∈(0,1), 所以, 當(dāng)有兩解時(shí),a的取值范圍為(0,1).