極線視角下對(duì)2020年全國(guó)I卷解析幾何題的探究*

湖北恩施州教育科學(xué)研究院(445000) 周威

一、試題呈現(xiàn)與問(wèn)題提出

例1(2020年全國(guó)I 卷理科21 題、文20 題)已知A,B分別為橢圓E:1(a＞1)的左、右頂點(diǎn),G 為E 的上頂點(diǎn),為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),PA 與E 的另一交點(diǎn)為C,PB 與E 的另一交點(diǎn)為D.

圖1

(1)求E 的方程;

(2)證明:直線CD 過(guò)定點(diǎn).

評(píng)注此題以橢圓與直線最基本的問(wèn)題情境作為進(jìn)行任務(wù)創(chuàng)設(shè)和基本知識(shí)能力運(yùn)用考查的載體,重點(diǎn)考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想,強(qiáng)調(diào)直線代入圓錐曲線方程通性通法的應(yīng)用.對(duì)于直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,要么先設(shè)點(diǎn)P 坐標(biāo),然后把直線AP,BP 的方程分別與橢圓方程聯(lián)立,求出C,D 兩點(diǎn)的坐標(biāo),對(duì)于處理定點(diǎn)問(wèn)題,可對(duì)CD 直線方程化簡(jiǎn),得出過(guò)定點(diǎn);也可以先確定點(diǎn),再通過(guò)三點(diǎn)共線求定點(diǎn);要么設(shè)CD 的直線方程x=my+n 及C,D 的坐標(biāo),聯(lián)立橢圓方程,通過(guò)設(shè)而不求,找到m,n 的關(guān)系,進(jìn)而得到直線過(guò)定點(diǎn)(請(qǐng)讀者解答).因此,上述解法具有代表性和通法性,體現(xiàn)了高考“四翼”中的基礎(chǔ)性.

那么基于此問(wèn)題情境,其背后的命題立意、高等數(shù)學(xué)背景和相關(guān)拓展是怎樣的? 為此,有以下問(wèn)題導(dǎo)向:

問(wèn)題1第(2)問(wèn)命題立意時(shí),如何從高觀點(diǎn)視角確定CD 與x 軸的交點(diǎn)就是固定的?

問(wèn)題2當(dāng)橢圓E 和直線x=6 都為一般情形時(shí),直線CD 過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)是怎樣的?

問(wèn)題3如果將橢圓E 改為雙曲線的情形,是否有類似結(jié)論?

圖2

二、基于極點(diǎn)極線的問(wèn)題探究與結(jié)論

如果站在極點(diǎn)極線高觀點(diǎn)下,對(duì)上述問(wèn)題的思考就能讓人豁然開(kāi)朗.極點(diǎn)極線是高等幾何中關(guān)于二次曲線的有關(guān)概念,與高中階段圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系密切.其具體定義為:如圖2,設(shè)點(diǎn)P 是不在圓錐曲線上的一點(diǎn),過(guò)P 點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于C,連接EG,FH 交于D,則直線CD 為點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的極線.若P 為圓錐曲線上的點(diǎn),則過(guò)P 點(diǎn)的切線即為極線.同理可知,PC 為點(diǎn)D 對(duì)應(yīng)的極線,PD 為點(diǎn)C 所對(duì)應(yīng)的極線.

定理1當(dāng)P 在圓錐曲線Γ 上時(shí),則點(diǎn)P 的極線是曲線Γ 在P 點(diǎn)處的切線;當(dāng)P 在Γ 外時(shí),過(guò)點(diǎn)P 作Γ 的兩條切線,設(shè)其切點(diǎn)分別為A,B,則點(diǎn)P 的極線是直線AB(即切點(diǎn)弦所在的直線);當(dāng)P 在Γ 內(nèi)時(shí),過(guò)點(diǎn)P 任作一割線交Γ 于A,B,設(shè)Γ 在A,B 處的切線交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P 的極線即為點(diǎn)Q 的軌跡.

若設(shè)J(x0,y0),HP 是點(diǎn)J 的極線,可得HP 的直線方程為因?yàn)辄c(diǎn)在直線HP 上,故可得x0=m.綜上所述,可得到例1 的一般結(jié)論:

圖3

結(jié)論1已知A,B 分別為橢圓E:b＞0)的左右頂點(diǎn),P 為直線x=m(m /=0)上的動(dòng)點(diǎn),PA與E 的另一交點(diǎn)為C,PB 與E 的另一交點(diǎn)為D.那么直線CD 過(guò)定點(diǎn)且直線AD 與BC 的交點(diǎn)在直線x=m 上.

證明可知A(-a,0),B(a,0),P(m,n),

三、結(jié)論再推廣

四、反思與結(jié)語(yǔ)

上述討論都是借助極點(diǎn)極線高等數(shù)學(xué)知識(shí),對(duì)試題情境中橢圓、雙曲線情形的探究.其實(shí),拋物線的情形也有類似問(wèn)題情境和結(jié)論,比如:已知拋物線y2=2px(p＞0),P為直線x=m 上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P 作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為C、D,則直線CD 過(guò)定點(diǎn)H(-m,0).關(guān)于拋物線中“k1+k2=2k0”的結(jié)論情形,筆者在文[2]中也有所闡述,這涉及到此道高考題的源與流,不再贅述.數(shù)學(xué)家F.克萊因認(rèn)為,教師應(yīng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題,只有觀點(diǎn)高了,事物才能顯得明了簡(jiǎn)單.