探究問題模型 實現多題一解
——用平移齊次化的方法處理全國I卷中一類解析幾何問題

廣州市執信中學(510080) 朱清波

近4年的全國I 卷解析幾何試題中,2017年、2018年、2020年這3年的考查方向均為橢圓中定點定值問題,所不同的是前兩年題干所給條件(或結論)是與“斜率之積”或“斜率之和”直接相關,而2020年試題的方向是利用所給條件進行驗證式證明.這類問題的常規解答思路一般為:設直線方程為y=kx+b,再將直線所滿足的條件最終轉化為參數k,b之間的線性關系,最終判斷該定點坐標(當然也需要考慮直線斜率是否存在的情況).在求解過程中韋達定理的正確形式和斜率之和或積為定值的合理轉化是能否順利解出答案的兩個最重要的因素,但該思路運算量往往較大,大量考生往往出現會算但算不對或算不全的現象.如何另辟蹊徑找到減少計算量的方法或把它們統一轉化到熟知的常規模型,是一個值得探究的問題.以下從3 道高考真題來開展一種相對特殊的解法探究,以期對這類問題有更高層次的認知.

(1)求C的方程;

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖4,將橢圓E:x2+9y2=9 和直線CD沿n=(-3,0)平移變換,得到曲線E2:(x+3)2+9y2=9,即x2+9y2+6x=0,設CD經過變換后的直線l′:mx+ny=1,代入上述方程齊次化得x2+9y2+6x(mx+ny)=0,整理

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10