2019年高考數學史試題分類評析與教學建議

首都師范大學數學科學學院(100048) 覃淋

1 引言

近年來,隨著對數學的本質認識的不斷深化,不管是數學家或是數學教育工作者,都越來越認同“數學是人類文化的重要組成部分”.《普通高中數學課程標準(2017)》從基本理念、課程目標、實施建議等方面對“數學文化”作了明確要求,強調要將數學文化融入數學教學中.通過在數學教學活動中滲透數學文化,讓學生了解數學的發展歷程,認識數學在科學技術和人類社會發展中的所起的重要作用,引導學生認識和感悟數學的文化價值,提升人文素養及數學核心素養[1].

考查近年來的高考試卷,可以發現每套試題都在有意識地滲透數學文化,主要體現在數學史、數學精神和數學應用三個方面[2].以數學文化作為試題背景已成為高考命題的新亮點和新趨勢.數學文化作為數學的重要組成部分,對學生數學核心素養的培養起著重要作用.這類試題具有其它一般數學試題難以比擬的文化價值、教育價值以及科學價值,數學文化試題的意義和價值超越了試題本身.比如:2017年全國卷II 理科第3 題以我國明代程大位的數學著作《算法統宗》中的古算詩題為素材考查等比數列求和公式,2018年全國卷I 理科第10 題以“希波克拉底定理”為背景考查幾何概型,2019年全國卷III 文理科第21 題和浙江卷第21 題都以阿基米德《方法論》中的相關命題為背景考查解析幾何的相關內容.

數學史作為數學文化的重要組成部分,對學生的數學核心素養的培養起著重要作用.高考作為指揮棒,將數學史融入高考數學試題能進一步發揮其育人的功能.數學史作為高考數學試題的命題背景,主要包括數學家生平、數學史上的標志性事件、數學名著、數學名題、數學符號、數學公式、數學圖形以及數學史上論爭等.本文對2019年全國13 套(文、理科)高考數學試卷中數學史試題進行分類、統計,對命題特點進行分析.一方面為以后高考命題者編制出素材更加豐富、題型更加新穎的試題提供啟發;另一方面,為教師更合理地使用教材中的數學史料進行教學提供可借鑒的方法.

2 高考數學史試題評析

2019年全國共13 套高考數學試卷:全國卷I(文理)、全國卷II(文理)、全國卷III(文理)、北京卷(文理)、天津卷(文理)、浙江卷、江蘇卷和上海卷.對13 套試題中的數學史試題進行統計,6 道數學史試題的基本情況如表1所示.

表1:2019年高考試卷中的數學史試題

13 套試卷中共有6 道數學史試題,其中全國卷I、全國卷III、浙江卷各兩道,北京卷、上海卷、全國卷II、江蘇卷和天津卷均沒有.可以發現:第一,從題型看,題目類型豐富,有選擇題、解答題和證明題;第二,從史料涉及領域看,涉及了代數、不等式、解析幾何、立體幾何和概率等;第三,從史料涉及內容看,包括黃金分割、均值不等式、阿基米德方法論、柯西不等式、祖暅原理等數學史.

13 套試卷中的數學史試題的命題來源有三種:(1)以數學史上著名問題或定理為背景;(2)以中國古代數學家的研究成果為背景;(3)以國外數學家的研究成果為背景.下面分別來說明.

2.1 以數學史上著名問題或定理為背景

評析2019年6月7日數學考試結束不久,此題便引發了廣泛討論.此題以古希臘畢達哥拉斯學派提出的黃金分割為背景設置題目,出乎廣大考生和教師的意料之外.此題以著名雕塑“斷臂維納斯”為載體,探討人體黃金分割之美,將美育融入數學教育之中,很好地將數學與其它學科聯系起來了.

“將已知線段分割為兩部分,使其中一部分是全線段與另一部分的比例中項.”就是所謂的黃金分割問題,這種分割有許多不同的名稱.通常稱之為“黃金分割(golded section)”,又稱為“中外比”、“中末比”.黃金分割和正五邊形、正十邊形以及五角星的作圖有著密切關系.“黃金分割”很有可能起源于畢達哥拉斯學派研究正五邊形的作圖.關于中末比的系統研究,最早的可能是古希臘數學家歐多克斯(Eudoxus,約公元前400—前347).

黃金分割這一名稱出現很晚.意大利數學家帕喬利(Luca Pacioli,1445-1517)在其著作《神圣比例》(1509)中將中末比稱為“神圣比例”;天文學家開普勒(Johannes Kepler,1571-1630)在《宇宙之謎》(1596)中稱中末比為比例分割.最早在書中使用黃金分割名稱的是歐姆(Martin Ohm,1792-1872),在《純粹初等數學》第二版(1835)中使用了“goldene Schnitt(黃金分割)”.19世紀之后,黃金分割這一名稱逐漸通行.

關于黃金分割的系統論述,最早見于《幾何原本》.《原本》卷II 第11 題[3]:分已知線段為兩部分,使全線段與一小段構成的矩形等于另一小線段上的正方形;卷IV 第10 題,卷VI 第30 題,卷XIII 第9 題都提到了黃金分割問題.

評析此題的命題背景包括均值不等式和柯西不等式.不等式主要研究數的不等關系,與數、式、方程、函數、數列以及三角等數學內容有非常密切的關系,不等式的證明歷來也是高考的一個重點.

均值不等式有著非常悠久的歷史,可以追溯到古希臘畢達哥拉斯學派,畢達哥拉斯學派研究過多種比例中項,但他們沒有討論這些數之間的大小關系.阿基米德在《論球與柱體》中,在證明球的體積公式時,利用了如下結果:設α,β 是兩條已知線段,并且α＞β.在α 和β 之間插入兩條為等差中項的線段δ 和ε(即α,δ,ε,β 構成等差數列),那么α3:δ3＜α:β.但沒有給出證明.

公元3世紀末,帕普斯(Pappus)在《數學匯編》中給出了圖1,利用此圖即可得到.

圖1

2.2 以中國古代數學家的研究成果為背景

例3.(浙江卷第4 題)祖暅是我國南北朝時期的偉大的科學家,他提出“冪勢既同,則積不容異”稱為祖暅原理,利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積,h 是柱體的高.若某柱體的三視圖如右圖所示(單位:cm),則該柱體的體積(單位:cm3)是()

圖2

A.158 B.162 C.182 D.324

評析此題以南北朝大數學家祖暅(456-536)提出的“祖暅原理”為背景,考查由三視圖求面積、體積,考查直觀想象、邏輯推理等數學學科核心素養.本題的關鍵是由三視圖還原幾何體,是一道容易題.

祖暅是我國古代偉大的數學家、天文學家.他在劉徽提出的“牟合方蓋”的基礎上,提出了祖暅原理,求出“牟合方蓋”的體積,推導出了球的體積公式.關于祖暅認真刻苦學習的事跡,《南史·祖沖之傳》中有記載:“……入神之妙,般、倕無以過也.當其詣微之時,雷霆不能入.”

祖暅所取得的成就,并不是輕輕松松就得到的,而是長期思考,不斷學習,站在巨人的肩膀上取得的.在教學中,通過對某些數學公式、定理、符號的歷史的介紹,可以激發學習動機,展現數學人文性的一面,使數學不那么可怕,培養學生積極的情感態度和價值觀;了解數學家在創造數學的經歷的曲折過程和錯誤,知道并非只有自己在數學學習上有困難而感到有所安慰;幫助學生理解數學在社會中的作用等等.讓他們知道,數學作為人類的一項活動,是不斷向前發展的,并不是一出現就具有像教科書中那種完美的形式,而是一代又一代數學家艱苦奮斗的結果.

題目對祖暅取得的成就的介紹,體現了習總書記所強調的文化自信,可以在潛移默化中增強學生的民族自豪感.這種處理方式和2018年全國卷II理科卷第8 題是一樣的.實際上,把前面介紹“祖暅原理”的內容去掉,把題目改為“若某柱體的三視圖如右圖所示,則該柱體的體積是多少? ”也不會影響學生解題,這里題目以附加的形式運用數學史,史料內容可以與題目分離[4].

圖3

2.3 以國外數學家的研究成果為背景

圖4

例5(浙江卷第21 題)如圖4,已知點F(1,0)為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點,過點F 的直線交拋物線于A,B 兩點,點C 在拋物線上,使得ΔABC 的重心G在x 軸上,直線AC 交x 軸于點Q,且Q 在點F 的右側.記ΔAFG,ΔCQG 的面積分別為S1,S1.

(I)求p 的值及拋物線的標準方程;

評析這兩題以阿基米德的《方法論》(The Method of Archimedes)和《求拋物弓形的體積》(Quadrature of the Parabola)中的相關內容為背景,進行改編重構,設置題目.考查拋物線、直線方程、重心性質、函數最值、弦長公式以及三角形面積等基礎知識,綜合地考查了學生分析和解決問題的能力.同時考查數學建模、邏輯推理等數學學科核心素養.屬于中檔題.

實際上,考查歷年的高考數學試題,可以發現《方法論》中的“拋物弓形面積”是一個命題熱點,幾乎每年都有以此為背景的考題.如江西卷22 題(2005),全國卷II 21 題(2006),江蘇理科19 題(2007),山東卷22 題(2008),江西卷21 題(2008),遼寧卷20 題(2013),浙江卷21 題(2018),浙江卷21題(2019).從題型上來看,均為解答題,屬于中等難度.而且,在教材上有與此類似的題目,人教A 版選修2-1 第二章“圓錐曲線與方程”的復習參考題B 組第3 題:如圖5,已知直線與拋物線y2=2px(p＞0)交于A,B 兩點,且OA⊥OB,OD⊥AB 交AB 于點D,點D 的坐標為(2,1),求p 的值.

圖5

高考數學試題的命制來源于教材又高于教材,這也為我們高三復習指明了方向——要關注教材,要重視教材,不要搞題海戰術.今年的高考題和往年相比,大變樣,沒有按套路出牌,使得很多學生和老師覺得題目“很難”.這對那些背死書、走套路的學生來說,是比較難.

實際上,很往年相比,數學試題的難度反而降低了.雖然難度降低了,卻更靈活了,要求也更高了.正如李尚志教授所說:“考題靈活,將ABCD 的湯換成維納斯的頭和腳這樣的湯,把死記硬背的考生打蒙,把他們入學的門關窄一點甚至關死,讓他們除了吐槽暈倒和哭泣之外無計可施,讓那些潛心學習的考生不需要那么高的考分就能進大學.”這也會是今后高考改革堅持的方向:從能力立意到素養導向轉變,突出學科核心素養,以數學知識為載體,將基礎性和創新性作為考查重點,考查學生識別、分析和解決問題的能力.

這里試題背景是《方法論》中的命題1:拋物弓形的面積是其內接三角形面積的4/3.《方法論》中有15 個命題,包含阿基米德計算許多圖形的面積和體積的方法、技巧等,阿基米德特別聲明這并不是嚴格證明[5]:“這些定理將來必須用幾何方法加以證明,因為以上方法不算真正意義上的證明.”而后在《求拋物弓形的體積》中給出了拋物弓形面積結果的幾何證明.證明思想是利用歐多克斯的窮竭法,即在弓形內部作一系列的多邊形去逼近弓形,使弓形的面積與內接多邊形的面積之差小于任一給定值,再用歸謬法證明.這里試題背景的意義與價值已超出了試題本身,將數學的理性精神表現得淋漓盡致.

例6(全國卷III 文理科第23 題)設x,y,z ∈R,且滿足x+y+z=1.證明:

(I)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

評析此題的命題背景是柯西不等式,柯西不等式最初由柯西提出(1821),該不等式的積分形式是布尼亞科夫斯基在1859年提出的,施瓦茨在1888年給出了該不等式的積分形式的證明.柯西不等式有許多形式,如向量形式、三角形式、概率論形式、積分形式等,在許多數學分支有著廣泛的應用.是高考數學命題和數學競賽命題的熱點,如2013年湖南卷理科第10 題,2014年福建卷理科第21 題,2019年全國卷I 第23 題.人教A 版選修4-5 中介紹了柯西不等式.

試題解法(I)由柯西不等式,有

3 結論與建議

從數學史在2019年高考數學試題中出現的次數及史料內容看,可以發現命題者都比較重視將數學史融入到試題中,融入方式也變得多種多樣,改變了以往單純的知識性考查.不管是從學生學習的角度看,還是從教師教學的角度看,或是數學本身而言,數學史都是非常重要的,因為“一門科學的歷史就是這門科學本身”.為了使高考試題中的數學史內容更加豐富,更好地體現數學史的教育價值和文化價值,試卷中數學史試題的數量、史料內容的選擇都有待改進.

第一,增加試卷中數學史試題的數量.從前面的統計可以看到,2019年全國共有13 套高考數學試卷,僅有6 道數學史試題.其中全國卷I、全國卷III、浙江卷各兩道,北京卷、上海卷、全國卷II、江蘇卷和天津卷均沒有.從這一點來說,命題者對數學史的重視程度還不夠.因此,可以考慮適當增加試卷中數學史試題的數量,在高考試題中融入數學史,可以引導中學數學的教學.HPM 的教學實踐研究表明,數學史可以激發學生的學習興趣、增加學習動機、幫助學生理解重要的數學概念等教育價值.通過數學史的介紹,一方面可以激發學生的學習興趣,增強學習數學的信心;另一方面,數學史展現了數學知識發生和發展的過程,可以幫助學生進一步理解概念[6].

第二,進一步加強不同學科之間的聯系.從上面的統計結果可以看到,6 道試題僅有1 道試題涉及了數學與其它學科之間的聯系.全國卷I 中的人體黃金分割很好地將美學與數學結合在一起,體現了美學中的數學.實際上,數學的思想和方法已經滲透到社會的方方面面,涉及到整個自然科學、社會科學、工程計算、管理、經濟和文學領域.因此,在試題命制時,可以考慮將數學與物理、生物、歷史、音樂、體育、文學、哲學等學科聯系起來,使得不同學科之間的知識成為一個整體,這樣可以促進學生更有效地學習數學.

第三,高考數學的復習應重視教材.由以上分析知,6 道數學史試題中,有2 道試題涉及均值不等式和柯西不等式,有2 道試題涉及阿基米德《方法論》和《求拋物弓形的面積》,還有一道試題涉及了祖暅原理.實際上,這里的6 道數學史試題中,除了全國卷I 黃金分割那道試題外,其余5 道試題所涉及的數學史在教材中都有體現,這一方面說明了高考試題來源于教材,高于教材;另一方面也為高三復習指明了方向.