2020年高考圓錐曲線問題解法探索與備考建議

陜西省漢中市龍崗學(xué)校(723100) 唐宜鐘

圓錐曲線是每年高考的必考大題,一般放在壓軸題位置,具有較強(qiáng)的區(qū)分度.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》中提到對(duì)圓錐曲線“重點(diǎn)提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”.要求學(xué)生“能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程:根據(jù)具體問題情境的特點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系;根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn),用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;根據(jù)對(duì)幾何問題(圖形)的分析,探索解決問題的思路;運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論;給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋,解決幾何問題.”遵循新課標(biāo)思想,筆者對(duì)2020年高考理科數(shù)學(xué)圓錐曲線大題解法進(jìn)行了探索.

一、試題統(tǒng)計(jì)

2020年高考理科數(shù)學(xué)共10 份,對(duì)圓錐曲線大題簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)如下:

試卷題號(hào)核心問題著力點(diǎn)全國(guó)I 卷20定點(diǎn)問題點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算、方程化簡(jiǎn)全國(guó)II 卷19弦長(zhǎng)計(jì)算聯(lián)理曲曲方程、方程化簡(jiǎn)全國(guó)III 卷20點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)理直曲方程、計(jì)算江蘇卷18點(diǎn)的坐標(biāo)幾何表達(dá)轉(zhuǎn)化、聯(lián)理直曲方程北京卷20定值問題聯(lián)理直曲方程、數(shù)值化簡(jiǎn)天津卷18計(jì)算斜率聯(lián)理直曲方程、坐標(biāo)計(jì)算海南卷21橢圓上一點(diǎn)到直線距離最大值幾何表達(dá)轉(zhuǎn)化、聯(lián)理直曲方程山東卷22定點(diǎn)問題聯(lián)理直曲方程、數(shù)值化簡(jiǎn)、幾何轉(zhuǎn)化浙江卷21減少參變量聯(lián)理直曲方程、曲曲方程、減少參變量上海卷20臨界值尋找條件轉(zhuǎn)化、坐標(biāo)尋找

上述圓錐曲線大題可以進(jìn)一步歸為三大類:①計(jì)算類問題.方程問題2 個(gè):全國(guó)II 卷和天津卷;求解坐標(biāo)問題2 個(gè):全國(guó)III 卷和江蘇卷.②定點(diǎn)定值問題.定點(diǎn)問題2 個(gè):全國(guó)I卷和山東卷;定值問題1 個(gè):北京卷.③最值問題3 個(gè):海南卷、浙江卷和上海卷.

圓錐曲線問題通常的解決程序包括以下四個(gè)方面:①方程聯(lián)理:包括直線與直線聯(lián)理、直線與曲線聯(lián)理、曲線與曲線聯(lián)理.這類聯(lián)理最終達(dá)成的結(jié)果是減少未知量或直接得出坐標(biāo)等;②條件轉(zhuǎn)化:常見的是直接將坐標(biāo)、斜率、弦長(zhǎng)、向量、面積等量的表征轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的符號(hào)化語(yǔ)言或?qū)⒊橄髷⑹?、幾何語(yǔ)言等轉(zhuǎn)為直觀理解的可計(jì)算的代數(shù)語(yǔ)言;③減少參量:利用題目中的條件,將參量個(gè)數(shù)變少或者建立起多個(gè)參量間的等式.或者利用不等式、臨界值、相關(guān)范圍等將某個(gè)參量定量消除.④計(jì)算化簡(jiǎn):包括根據(jù)條件最終計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、直線曲線方程等,并化簡(jiǎn)為滿足要求的或者約定成俗的形式,或者利用已知范圍計(jì)算出某個(gè)所求值的最值或范圍.

二、計(jì)算類問題的三種視角的方法

計(jì)算類問題通常與直線方程、弦長(zhǎng)、點(diǎn)的坐標(biāo)等有關(guān).筆者提供三種視角的方法:斜率視角方法、點(diǎn)的視角方法、長(zhǎng)度角度視角方法.其中斜率視角方法包括使用直線的x 軸斜截式方程.

1.斜率視角方法斜率視角方法是最常見的解題方法,即把斜率作為一個(gè)未知量(大多數(shù)時(shí)候是唯一的未知量),設(shè)出相關(guān)直線的方程,再轉(zhuǎn)化已知條件,最終得出結(jié)果.

2.點(diǎn)視角方法設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),以點(diǎn)的坐標(biāo)為未知量,轉(zhuǎn)化條件,最終得到結(jié)果.大多數(shù)情況下,點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)形式下轉(zhuǎn)化不夠簡(jiǎn)潔,為了計(jì)算的方便,會(huì)采用一些技巧進(jìn)行化簡(jiǎn),如三角代換、點(diǎn)差法、焦半徑等.

本解中,先設(shè)出點(diǎn)P 的坐標(biāo),進(jìn)而表達(dá)出點(diǎn)P 的軌跡方程.但在后續(xù)轉(zhuǎn)化中,需要通過橢圓上的點(diǎn)B 來“固定”點(diǎn)P,我們使用了三角代換,使運(yùn)算簡(jiǎn)化.

3.長(zhǎng)度角度視角方法設(shè)出長(zhǎng)度和角度,利用長(zhǎng)度表示相關(guān)線段的長(zhǎng),利用角度表達(dá)斜率,利用長(zhǎng)度和角度表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo).本方法的內(nèi)核,是極坐標(biāo)和參方.這類方法,有時(shí)能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算,并更容易看清問題的本質(zhì).是一類值得開發(fā)的方法.

三、定點(diǎn)定值類問題的處理方法

定點(diǎn)定值類問題,筆者提供四種處理方法:①常規(guī)方法,直接根據(jù)題設(shè)條件,逐步轉(zhuǎn)化.這需要較強(qiáng)的運(yùn)算功底.②極點(diǎn)極線,一些問題的本質(zhì)是極點(diǎn)極線,如果能快速識(shí)別,合理“套用”,往往能夠撥開迷霧,指明方向.但高考中不建議直接使用.③二次曲線系,這類解法通過對(duì)比相同項(xiàng)的系數(shù),能夠一定程度規(guī)避運(yùn)算中的“無效”部分,達(dá)到計(jì)算的快、準(zhǔn).④齊次化二次曲線,這類解法通過平移坐標(biāo),齊次化方程,把所求問題的幾何意義簡(jiǎn)化,使得計(jì)算簡(jiǎn)潔、意義明確.

1.常規(guī)方法

2.極點(diǎn)極線

3.二次曲線系

4.齊次化二次曲線

四、最值類問題的處理方法

最值類問題的最終目標(biāo)是將表達(dá)式化為單變量的函數(shù)(不等式)問題處理.需要兩種處理技巧:一是將幾何意義轉(zhuǎn)化為可用代數(shù)化表達(dá)的式子,如2020年海南卷第(2)問就是將面積的最大值轉(zhuǎn)化為橢圓上一點(diǎn)到定直線距離的最大值.二是將多變量函數(shù)通過題設(shè)條件和不等式技巧轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù).

例8(2020年高考浙江卷第21 題)如圖,已知橢圓C1:拋物線C2:y2=2px(p＞0),點(diǎn)A 是橢圓C1與拋物線C2的交點(diǎn),過點(diǎn)A 的直線l 交橢圓C1于點(diǎn)B,交拋物線C2于M(B,M 不同于A).

五、備考建議

基于圓錐曲線的特點(diǎn),筆者提出以下幾點(diǎn)建議:(1)加強(qiáng)解題模式的培養(yǎng).圓錐曲線的解題過程有相對(duì)固定的模式,多多練習(xí),熟能生巧.(2)加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng).圓錐曲線的大部分過程是運(yùn)算.運(yùn)算能力,至關(guān)重要.(3)加強(qiáng)幾何轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng),幾何轉(zhuǎn)化是圓錐曲線的破題之道.(4)加強(qiáng)代數(shù)技巧、不等式方法的培養(yǎng).靈活使用代數(shù)技巧,能使題目的計(jì)算簡(jiǎn)潔快速.(5)適當(dāng)補(bǔ)充常見結(jié)論和特殊技巧.這些技巧和結(jié)論能使學(xué)生看見題目的“底牌”,解題有的放矢.(6)培養(yǎng)學(xué)生時(shí)間管理意識(shí).要規(guī)劃好時(shí)間,不急不緩,注重細(xì)節(jié),避免非知識(shí)性失誤,追求完美.(7)培養(yǎng)學(xué)生的心理素質(zhì).練就平和的心態(tài),樹立克難攻堅(jiān)的信心,用“穩(wěn)”字貫穿解題始終.