同構(gòu)思想在解題中的應(yīng)用

廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 鄧啟龍

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中,常常遇見(jiàn)一些數(shù)學(xué)式子或者變式,它們結(jié)構(gòu)相同,只是變量或者數(shù)字不同.此時(shí),可以把它們具有的相同結(jié)構(gòu)提取出來(lái),通過(guò)研究這個(gè)結(jié)構(gòu)具有的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.本文就來(lái)例談同構(gòu)思想在解題中的應(yīng)用.

1 比較大小

2 解方程(組)

例2解方程x6-(x+2)3+x2=x4-(x+2)2+x+2.

分析該方程為6 次方程,直接解很難.注意到方程中出現(xiàn)了(x+2)3,(x+2)2,x+2,于是將x+2 視為一個(gè)整體,方程變形為x6-x4+x2=(x+2)3-(x+2)2+(x+2),方程兩邊具有相同的結(jié)構(gòu),于是構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3-x2+x.

解令f(x)=x3-x2+x,則f′(x)=3x2-2x+1＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x 恒成立,于是f(x)在R 上單調(diào)遞增.方程x6- (x+2)3+x2=x4- (x+2)2+x+2 變形為x6-x4+x2=(x+2)3-(x+2)2+(x+2),即f(x2)=f(x+2).由f(x)在R 上單調(diào)遞增得x2=x+2,解得x=2,-1.

例3已知a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,求a+b的值.

分析兩個(gè)方程左邊結(jié)構(gòu)相同,于是構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3-3x2+5x.

解令f(x)=x3-3x2+5x,則f(x)的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)(1,3),即f(x)+f(2-x)=6 對(duì)任意實(shí)數(shù)x 恒成立.由已知得f(a)=1,f(b)=5,有f(a)+f(b)=6,又f(a)+f(2-a)=6,所以f(b)=f(2-a).由f′(x)=3x2-6x+5=3(x-1)2+2＞0 得f(x)在R 上單調(diào)遞增,所以b=2-a,a+b=2.

注三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a /=0)的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn).

例4設(shè)方程x+2x=4 的根為a,方程x+log2x=4的根為b,求a+b 的值.

分析在方程x+log2x=4 中,令x=2t,則方程變?yōu)?t+t=4,與方程x+2x=4 結(jié)構(gòu)相同,于是構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+2x.

解令f(x)=x+2x,易得f(x)在R 上單調(diào)遞增.由已知得a+2a=4,b+log2b=4,令b=2t,得2t+t=4.于是f(a)=f(t)=4.由f(x)在R 上單調(diào)遞增得a=t,所以b=2a,a+b=4.

注題目中出現(xiàn)了兩個(gè)看似結(jié)構(gòu)不同的方程,但其中一個(gè)方程經(jīng)過(guò)代換變形后,兩個(gè)方程結(jié)構(gòu)相同,然后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性解題.

例5已知實(shí)數(shù)a,b 滿足aea=e3,b(ln b-1)=e4,求ab 的值.

分析將b(ln b - 1)=e4變形為令得tet=e3,與aea=e3結(jié)構(gòu)相同,于是構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex.

解令f(x)=xex,易得f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.由已知得令得tet=e3,于是f(a)=f(t)=e3,易知a＞0,t＞0,由f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增得a=t,于是b=ea+1.所以ab=aea+1=e4.

例6已知實(shí)數(shù)a,b ∈(0,2),且滿足a2- b2- 4=求a+b 的值.

分析將a,b 分離得(b-2)2+22-b,將2-b 視為一個(gè)整體,式子兩邊具有相同的結(jié)構(gòu),于是構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2+2x.

解令f(x)=x2+2x,易得f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增.由已知得于是f(a)=f(2-b),易知a,2-b ∈(0,2),由f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增得a=2-b,所以a+b=2.

注一個(gè)式子中出現(xiàn)了兩個(gè)變量,經(jīng)過(guò)分離變量和適當(dāng)變形后,式子兩邊結(jié)構(gòu)相同,然后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性解題.

例7(2020年高考全國(guó)I 卷理科第12 題)若2a+log2a=4b+2log4b,則()

A.a＞2b B.a ＜2b C.a＞b2D.a ＜b2

分析由已知得2a+log2a=22b+log2b,式子兩邊具有相似的結(jié)構(gòu),于是構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x.

解令f(x)=2x+log2x,易得f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.由已知得2a+log2a=22b+log2b,而f(2b)=22b+log22b=22b+log2b+1,于是f(a)=f(2b)-1 ＜f(2b),由f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增得a ＜2b.所以A 錯(cuò)誤,B 正確.

由f(b2)=2b2+log2b2=2b2+2log2b 得f(a)-f(b2)=f(2b)- 1 - f(b2)=22b- 2b2- log2b.當(dāng)b=1 時(shí),f(a)- f(b2)=2＞0,得f(a)＞f(b2),此時(shí)a＞b2.當(dāng)b=2 時(shí),f(a)-f(b2)=-1 ＜0,得f(a)＜f(b2),此時(shí)a ＜b2.所以C、D 錯(cuò)誤.故選B.

3 解不等式

4 綜合問(wèn)題