例談圓錐曲線中的非對稱問題

湖南省懷化市鐵路第一中學(418000) 高用

一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,則這樣的多項式叫做對稱多項式,簡稱對稱式,除此之外均稱為非對稱式.圓錐曲線解答題中直接或間接求解非對稱式問題我們稱為非對稱問題,該問題集直線與圓錐曲線位置關系,點與圓錐曲線的位置關系,方程與不等式等數學知識于一體,經常在知識網絡交匯處設置問題,綜合性較強,有一定難度.但很多學生發現不能直接利用韋達定理就放棄了,非常可惜,本文就幾種常見的圓錐曲線非對稱問題談談該類問題的求解方法.

1 配湊法化非對稱為對稱

(1)求橢圓的標準方程;

(2)設直線x=my+1 與橢圓交于P,Q,直線AP 與直線BQ 交于點T,證明:當m 變化時,點T 在一條定直線上.

分析聯立直線AP,BQ 的方程,直接求交點坐標運算量太大,不可行! 只需消去y,再將x1,x2轉化為y1,y2,然后配湊成y1+y2和y1y2的形式,進而整體代換即可,這正是解析幾何的核心思想——“設而不求”.

2 利用圓錐曲線方程代入化非對稱為對稱

例3如圖,橢圓E:左、右頂點為A、B,左、右焦點為F1、F2,|AB|=4,直線y=kx+m(k＞0)交橢圓E 于C、D 兩點,與線段F1F2、橢圓短軸分別交于M、N 兩點(M,N 不重合),且|CM|=|DN|.

3 小試牛刀解高考真題

例4(2020年高考全國I 卷理科)已知A、B 分別為橢圓E:的左、右頂點,G 為E 的上頂點,P 為直線x=6 上的動點,PA 與E 的另一交點為C,PB 與E 的另一交點為D.

(1)求E 的方程;

(2)證明:直線CD 過定點.

分析聯立直線AC 和BD 的方程,消去y,代入x=6,再將非對稱式化為對稱式,然后利用韋達定理整體代換求解.

解析(1)依據題意作出如下圖象:由橢圓方程可得:A(-a,0),B(a,0),G(0,1),則所以得a2=9,所以橢圓方程為:.