巧解拋物線中的面積之比問題

浙江省衢州第二中學(324000) 萬祺

在解析幾何解題過程當中,學生往往存在一系列困難,比如對平面解析幾何的基本思想理解不到位;代數恒等變形、運算操作能力弱等.本文將針對一類與三角形面積之比有關的考題進行探究,此類問題往往運算的結構不對稱,運算難度較大.下面擬從一個問題入手,建立適當模型,探尋合理的解決方案,力求有所突破.

1 建立模型

例1如圖1,已知拋物線L:y2=4x 的焦點為F,過點M(5,0)的動直線l 與拋物線L交于A,B 兩點,直線AF 交拋物線L 于另一點C.記ΔABC,ΔCFM 的面積分別為S1,S2,求的最小值.

圖1

分析本題常規思路是直接去求兩個三角形的面積,進一步去尋找坐標之間的關系,運算中發現與坐標相關的式子形式不對稱,直接使用韋達定理會有一定的運算量.這里我們通過引入中間變量(即ΔACM 的面積)將面積之比轉化為邊長之比,進一步轉化為坐標之比,然后找尋坐標之間的關系,從而達到消元的目的,簡化求解過程.

注找準直線的設法,通過韋達定理發現拋物線與直線交點的坐標之積只與直線在坐標軸上的截距有關.抓住這一點,有助于快速找到坐標之間的聯系,達到消元的目的.

2 模型應用

例2(2019年高考浙江卷)如圖2,已知點F (1,0)為拋物線y2=2px 的焦點,過點F 的直線交拋物線于A,B 兩點,點C 在拋物線上,使得ΔABC 的重心G 在x 軸上,直線AC 交x軸于點Q,且Q 在點F 的右側,記ΔAFG,ΔCQG 的面積分別為S1,S2.

圖3

(I)求p 的值及拋物線的標準方程;

分析若按照常規的解法,在轉化過程中利用韋達定理得到的兩根關系不能整體帶入,因此對化簡造成了較大困難.這里我們通過引入中間變量(即ΔABG 與ΔACG 的面積)把面積之比轉化為邊長之比,進一步轉化為坐標之比,然后找尋坐標之間的關系,從而達到消元的目的,簡化求解過程.

解(I)由題意,p=2,拋物線方程為y2=4x,

評注與例1 相仿,解決直線與拋物線有關的問題時,要注意當直線過軸上定點時,兩個交點的坐標之積為定值.同時,本題也要牢牢抓住三角形重心的性質,一方面,重心與三角形各頂點的連線將三角形面積三等分;另一方面,重心坐標與三角形三個頂點的坐標又緊密聯系.本題還有許多其他解法,這里不再展開.

例3拋物線y2=2px(p＞0)上縱坐標為-p 的點M 到焦點的距離為2.

圖3

(I)求p 的值;.

(Ⅱ)如圖3,A,B,C 為拋物線上三點,且線段MA,MB,MC 與x 軸交點的橫坐標依次組成公差為1 的等差數列,若ΔAMB 的面積是ΔBMC 面積的,求直線MB 的方程

解(I)由已知,p=2,M(1,-2),y2=4x;

評注本題也可以利用點A 到直線MB 的距離公式,直接將ΔAMB 面積表示出來,同理表示ΔBMC 得面積,從而進行求解.而上述解法通過將面積比轉化坐標比,可適當簡化計算求解過程.

例4如圖4,已知點A(4,4)在拋物線y2=2px 上,過點B(1,1)的直線交拋物線于點P(x1,y1),Q(x2,y2),其中2 ＜y1＜4.

(I)求y2的取值范圍;

(Ⅱ)若直線AP 與OQ 交于點I,記ΔIPQ,ΔIAO 的面積分別為S1,S2,求的最小值及此時點I 的坐標.

圖4

注記解決本題的關鍵也是將三角形面積比轉化為坐標比,盡管用坐標表示的式子形式不對稱,但最終發現不對稱的因式可以被約去,這也是我們在解析幾何求值化簡過程當中常常遇到的情況.

3 方法總結

涉及到拋物線中的三角形面積之比問題,往往可以通過以下幾個步驟進行操作:

1.尋找同底或等高的三角形(中間變量),將三角形面積之比轉化為邊長之比,進一步轉化為坐標比.

2.聯立拋物線與直線方程,通過韋達定理尋找坐標之間的關系,尤其是當直線過坐標軸上定點時,拋物線與直線交點的坐標乘積為定值.

3.利用坐標之間的等量關系,進行消元處理,化為單變元問題后進行求值或求范圍.

總之,合理假設直線方程,表示出坐標之間的關系,將面積之比轉化為坐標之比,是解決此類問題的關鍵,這也是圓錐曲線坐標化的意義所在.