幾種類周期函數處理方法

黃石市第七中學(435000) 谷文俊

武漢第十一中學(430000) 凌才元

周期性是函數的重要性質,也是高考的高頻考點之一.有些題目中會碰到在解析式或圖像特征與周期函數類似的函數,我們稱之為類周期函數,對這類函數問題的解決比周期函數難度大.本文總結了幾種類周期函數的一些處理方法與大家一起探討.

一、f(x+T)=f(x)+m 類線性型

(一)周期原理

1.若函數g(x)是以T為周期的函數,則f(x)=g(x)+ax+b為該類型的類周期函數.即周期函數加上一次函數構成的新函數為類周期函數.其中周期函數的周期T為類周期函數的周期.

證明f(x+T)=g(x+T)+a(x+T)+b=g(x)+ax+aT+b,則f(x+T)=f(x)+aT且直線的斜率為.

注一次函數可以看做周期為任意實數的類周期函數.

2.若函數f(x),g(x)是以T1,T2為周期的類周期函數,則f(x)+g(x)也是類周期函數,且周期為T1,T2的最小公倍數.

證明令h(x)=f(x)+g(x),T=k1T1,T=k2T2.

由題可知:f(x+T1)=f(x)+m1,g(x+T2)=g(x)+m2.所以,h(x+T)=f(x+k1T1)+g(x+k2T2)=f(x)+g(x)+k1m1+k2m2.

(二)函數圖像變化與特征

首先觀察兩個函數圖像:

圖1

圖2

(1)若f(x)為奇函數,當x＞0 時f(x+1)=f(x)+1,若0 ≤x≤1 時f(x)=x2則f(x)圖像為圖1.

(2)定義在R 上的函數f(x)滿足:f(x+1)=f(x)-2,若0 ≤x ＜1 時f(x)=x2,則f(x)圖像為圖2.

1 函數圖像沿著某直線展開

上面兩圖函數圖像分別沿著y=x,y=-2x展開.類比可知,滿足f(x+T)=f(x)+m關系的類周期函數圖像沿著斜率為的直線展開.即滿足f(x)=g(x)+ax+b的類周期函數圖像沿直線y=ax+b展開.

2 函數圖像以周期為單位平移(T＞0)

類周期函數圖像從左至右以周期為單位,后一個周期的圖像在前一個周期的基礎上向上(m＞0)平移或向下(m ＜0)平移|m|個單位.

(三)對稱性

1.若函數f(x),g(x)是均以T為周期的類周期函數,且函數f(x)關于(x0,y1)對稱,函數g(x)關于(x0,y2)對稱,則f(x)+g(x)關于(x0,y1+y2)對稱.

證明由對稱可知:f(x)+f(2x0-x)=2y1,g(x)+g(2x0-x)=2y2,令h(x)=f(x)+g(x),則h(x)+h(2x0-x)=f(x)+g(x)+f(2x0-x)+g(2x0-x)=2(y1+y2).證畢.

2.f(x)=sin(wx+θ)+ax+b類型函數對稱性的探討

例1設g(x)定義在R 上以1 為周期的周期函數,若f(x)=g(x)+x在[3,4]上值域為[-2,5],則f(x)在[-10,10]上的值域.

分析由題可得:f(x+1)=f(x)+1,則f(x)以1為周期的類周期函數.當x ∈[9,10]時,x -6∈[3,4],則f(x)=f(x -6)+6∈[4,11],當x ∈[-10,-9]時,x+13∈[3,4],則f(x)=f(x+13)-13∈[-15,-8].所以f(x)∈[-15,11].

例2函數的圖象大致是()

二、f(x+T)=kf(x)(T＞0,k＞0)類指數型

分析由題可得函數部分圖像如圖3.設x ∈(2,3]則x - 2 ∈ (0,1],f(x)=2f(x - 1)=4f(x - 2)=4x2-20x+24.令則.或觀察圖像可得正確答案為選項B.

圖3

三、f(kx)=nf(x)(k＞1)類冪指型

這種類型的類周期函數它的周期不斷變化,從左至右類周期成以k 為公比等比數列變化.圖像從左至右每個周期內的最值(且不為0)以n 為公比成等比數列.