一道概率統計問題的探究與推廣

廣東省珠海市第一中學(519000) 賴嘉輝

概率統計是高中數學的一個很重要的分支,它與我們的生活息息相關.從它的題目特點來看,很好地考察了學生對實際問題的分析,建模,求解的能力,也能很好地體現出學生的核心素養能力.從近幾年的高考命題上,更加注重了對能力和素養的考查,試題設計上增加了應用性和能力推理性.本文對一道概率統計題進行了探究與推廣,并在推廣過程中得到一個有趣的結論.

問題數字1,2,3,4,5 任意排成一列,如果數字k 恰好在第k 個位置上,則稱有一個巧合.

(1)求巧合數ξ 的分布列.

(2)求巧合數ξ 的期望.

ξ 0 1 2 3 5 P 44 120 45 120 20 120 10 120 1 120

上述問題是高中概率統計的一道練習題,此題研究的是5 個數字情況,屬于中等難度的題目.我們可以把它推廣到n個的情況,而且我們還在推廣的過程中發現了一個有趣的結論.

問題的推廣數字1,2,···,n 任意排成一列,如果數字k 恰好在第k 個位置上,則稱有一個巧合.

(1)求巧合數ξ 的分布列.

(2)求巧合數ξ 的期望.

問題分析依題意可得,巧合數ξ 可能的取值為0,1,2,···,n - 2,n.當巧合數為m 時,即有m 個數字恰好在它自己對應的位置上,而另外的n-m 個數字都不能它在自己的位置上,為了完成問題的推廣,我們需引入以下的概念.

ξ 0 1···k ···n-2 n P C0nan Ann C1nan-1 Ann Cknan-k Ann Cn-2n a2 Ann 1 Ann

(2)根據引理1 和2,巧合數的數學期望為從上述推廣的結論我們可以發現,不管數字n 是多少,我們都可以計算出巧合數的數學期望為1.同時,我們可以這樣理解:當數字n 很小時,某一個數字能在它自己位置上的概率就大了,但是巧合數ξ 的最大值就小了;而數字n 很大時,某一個數字能在它自己位置上的概率就小了,但是巧合數ξ 的最大值就變大了,從數學期望本身的定義來看,巧合數的數學期望為1 還是很有可能的.