基于分形理論的高速鐵路高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)雷擊率分布研究

曹保江，陳力生，李瑞芳，楊 雪，陶 鑫

(西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都 610031)

我國高速鐵路(以下簡稱高鐵)因運輸能力強和運輸速度快當下已成為交通運輸中的重要角色。確保高速鐵路運行穩(wěn)定安全的主要任務之一就是防止被雷害侵襲。國內(nèi)至今有多條高鐵線路均發(fā)生過雷害侵襲問題，如福夏線、甬溫線等均造成嚴重的經(jīng)濟、人員方面的損失[1-2]。高鐵防雷隨即成為當下研究重點。

國內(nèi)高鐵異于德、法、日等高鐵發(fā)達國家，因地形地貌、氣候多樣和國域廣闊，較其他國家而言在高鐵建設中大多采用高架橋[3]，故不能完全采用國外現(xiàn)有的學術成果。為此我國科研人員開展了多方面的研究。陳維江等[4]在考慮了高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)的基礎上建立了雷電過電壓計算模型，對接觸網(wǎng)雷電防護性能作出可靠評估；曹曉斌等[5]建立接觸網(wǎng)雷擊跳閘率計算模型,根據(jù)模型計算結(jié)果提出了兩種新穎的高鐵防雷方案；周利軍等[6]針對現(xiàn)今高鐵防雷缺陷問題分析研究了高鐵牽引供電系統(tǒng)雷擊特性；吳廣寧等[1]基于先導理論建立高鐵接觸網(wǎng)先導傳播動態(tài)模型對引雷范圍及其影響因素進行了深入研究。上述研究涉及EGM[7-9]和LPM[10-11]兩種雷擊模型。EGM模型從幾何的角度分析線路防雷性能，但因其模型參數(shù)主要與雷電流幅值相關，無法還原雷電發(fā)展過程的隨機性和同時考慮牽引供電引入的邊界條件。LPM模型引入了工作電壓的影響但其動態(tài)發(fā)展過程僅為單一方向，仍然無法描述雷電動態(tài)發(fā)展的隨機性過程。

結(jié)合分形理論和DBM[12]模型的分形發(fā)展模型因能同時兼顧確定性和隨機性從而有效彌補上述2種模型對雷電發(fā)展過程描述的不完全[13-14]，而目前卻沒有應用分形發(fā)展模型研究高鐵防雷問題的相關研究。為此本文應用分形發(fā)展模型詳細研究了4種影響因素下的接觸網(wǎng)雷擊率分布，4種影響因素分別為AF線和T線是否存在工作電壓、高架橋高度、雷電流幅值及下行先導起始位置，從而在一定程度上描述了接觸網(wǎng)系統(tǒng)的引雷特性，為后續(xù)的防雷研究進行鋪墊。

1 建模原理

1.1 基于分形理論的雷擊過程

分形理論通過給定高架橋附近空間范圍、設置上表面先導起始位置，按離散的過程分多步計算雷電動態(tài)發(fā)展的下一步位置，下行先導發(fā)展至有上行先導起始時，按照一定的速率比發(fā)展，直至雷電放電通道形成，見圖1。但在鐵路防雷中，線路電壓等級、線路半徑、線路高度均不及輸電線路系統(tǒng)，起暈場強相對高，較輸電線路系統(tǒng)中上行先導不可忽略的研究結(jié)果而言[13]，上行先導因起始更難，故本文暫不考慮其影響。

圖1 雷電先導分形發(fā)展

1.2 基于超松弛迭代法的空間電場計算

任意時刻空間電場均通過4個邊界條件計算決定：雷云電位、雷電通道電位、高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)和大地。連續(xù)的時間被離散為多個時刻，空間電場的變化也被轉(zhuǎn)化為離散值進行計算，雷電每發(fā)展一步對應一個時刻，每個時刻都能計算出對應的空間電場值。由于任意相鄰時刻間隔時間極短，空間電荷分布變化不大，因而空間電場可視作準靜態(tài)場[15-16]并用有限差分法計算[17]。在此計算過程中，對計算空間大小的選擇能確保計算結(jié)果精度可靠即可，空間上表面邊界條件按照文獻[15]所給等效雷云電位進行確定。本文的計算模型選用二維分形模型，主要是因為目前三維分形模型的統(tǒng)計特性尚未完善，現(xiàn)有研究所觀測到的閃電都是三維路徑在二維平面的投影。本文以邊長為300 m的正方形二維空間為計算空間，見圖2，高架橋縱向中線位于x=150 m處。

圖2 研究空間

圖2中，由300個邊長1 m的小網(wǎng)格組成1個整體研究空間，其空間電勢符合泊松方程

(1)

式中：φ、x、y分別為空間電勢、空間橫坐標、空間縱坐標。

左、右兩側(cè)符合Neumann邊界條件，上、下兩側(cè)、雷電下行先導通道、高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)均符合Dirichlet邊界條件，設置為固定電位，其中上邊界為等效雷云電位[15]，而雷電下行先導通道是因為通道中電荷產(chǎn)生電場決定空間各點的電位值，因此符合Dirichlet邊界條件。在通道電位恒定和線性兩種表示方法中本文選用前者，這是因為其對計算結(jié)果影響不大又能提高空間電場的計算速度。故公式(1)可用差分形式表示

4φi,j-φi+1,j-φi-1,j-φi,j+1-φi,j-1=0

(2)

式中：φi,j為點(i,j)的電勢。

空間電勢為一大型稀疏方程組

Aφ=0

(3)

式中：A為系數(shù)矩陣；φ=(φ1,1,φ2,1,…,φN,1,φ1,2,φ2,2，…，φN,2,…,φ1,N,φ2,N，…，φN,N)T。采用超松弛迭代法求解，將式(2)改寫為迭代形式

(4)

1.3 雷電分形發(fā)展理論

分形理論描述的雷電發(fā)展過程見圖3。實線為已發(fā)展先導通道，大黑點為已發(fā)展點，小黑點為未發(fā)展點，空心圓圈為距大黑點給定步長的下一步可能發(fā)展點，這些空心圓圈如果符合式(5)所述條件，則可能成為下一步發(fā)展點，確定的下一步發(fā)展點按概率出現(xiàn)，每次只有一個發(fā)展點，發(fā)展概率與附近的局部場強有關[18-19]。

圖3 先導分形發(fā)展示意

(5)

式中：E為圖3中大黑點與空心圓圈間的平均場強；φi,j-φi′,j′為兩點的電勢差，其中φi,j為圖3中大黑點的電勢，φi′,j′為圖3中空心圓圈的電勢；L為兩點間距離；Ec為放電臨界場強大小。

(6)

式中：P((i,j)→(i′,j′))為先導從點(i,j)向點(i′,j′)發(fā)展的概率值；η為發(fā)展概率指數(shù)。

發(fā)展概率指數(shù)η的選取關系到模型中雷電分形發(fā)展的確定性和隨機性相互平衡，才能更貼近真實情況下的雷電發(fā)展狀況。由式(6)可知，η越大先導的發(fā)展與局部場強關系越大則確定性占主導地位，反之則隨機性占主導地位，而不同的η值會使模型的分形維數(shù)不同。目前已有學者在分形維數(shù)的觀測上給出了相關結(jié)果[20-21]，同時又有司馬文霞、何金良等[13,15]通過對比不同η值下模型的分形維數(shù)和自然界雷電發(fā)展的分形維數(shù)，給出分形指數(shù)的選取結(jié)果。本文結(jié)合前人的研究成果將η取值為1。

1.4 躍變判據(jù)

目前躍變判據(jù)主要有兩種：下行先導和線路或地物間平均場強大于500 kV/m[22-23]；下行先導和線路間平均場強大于500 kV/m，下行先導和地物間平均場強大于750 kV/m[16]。本文采用第一種躍變判據(jù)，理由如下：一是接觸網(wǎng)電壓明顯小于雷電流產(chǎn)生的電位，又建于大地上，故應將雷電擊中接觸網(wǎng)與擊中大地的躍變臨界場強數(shù)值統(tǒng)一；二是雷電先導發(fā)生躍變時擊穿的介質(zhì)均為空氣，其躍變后擊中的目標是由擊穿前一時刻空間電場決定，應將雷電擊中接觸網(wǎng)與擊中大地的躍變臨界場強數(shù)值統(tǒng)一。

2 模型建立及驗證

2.1 高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)模型

圖4為基于我國高速鐵路常用高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)所繪的參數(shù)示意圖。T線和AF線的工作電壓有效值為27.5 kV且相位相反的交流電。PW線上的電壓很低因此模型中設置為零電位。承力索高度與PW線相等，位于接觸線正上方并與接觸線連接。橋墩、箱梁、支柱均由鋼筋連接并連接至大地等效為零電位。將上述模型等效見圖5，其中黃色點為為零電位，紅色點為AF線，粉色點為T線，AF線和T線電位分別取反相27.5 kV，設AF線電壓相位為正。

圖4 高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)(單位：m)

圖5 高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)等效模型

2.2 高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)的雷擊分形模型

本文所用分形模型見圖6，通過模型計算可以得到多次相同條件下的高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)各部分雷擊率。

現(xiàn)有研究表明，先導通道電位一般情況下隨其與地面距離的不同而不同，通道與地面的距離越小其電位變化就越小，在距離小到一定值時幾乎不變[24]，此時可視作常數(shù)[25]。本文中的空間大小為300 m×300 m二維空間，而自然界中雷云高度一般約為2 500 m，以此研究空間進行研究時可考慮為近地情況，將先導通道電位設置為固定值，作為空間電場計算模型中的Dirichlet邊界條件。

發(fā)展步長的選取會直接影響計算結(jié)果的精度、計算過程的時間。仿真步長越小，則仿真精度越高而計算量越大仿真時間越多。將發(fā)展步長取小于一個雷電梯級長度的值即可獲得符合精度要求的計算結(jié)果。模型在同時考慮了仿真精度和計算時間的影響后，取5 m作為模型中雷電分形的仿真步長。

圖6 仿真流程圖

2.3 模型驗證及結(jié)果分析

通過應用建立的雷擊分形模型按圖6中流程進行反復計算，并將計算結(jié)果中的雷電分形路徑和其他相關現(xiàn)象分別與雷電分形發(fā)展的基本特性和已有學術成果進行對比，模型正確性可被驗證，本文用其中兩次仿真進行說明，分別見圖7、圖8。

從仿真結(jié)果可以看出分形發(fā)展路徑均出現(xiàn)多級分叉現(xiàn)象，分叉現(xiàn)象的出現(xiàn)與先導通道距離地面的距離有關，距離地面越近時分叉現(xiàn)象越明顯[26]，此現(xiàn)象與雷電先導分形發(fā)展的隨機性相符[27]。圖中等差值電勢線反映了在近地面空間先導頭部與接觸網(wǎng)系統(tǒng)間存在極強的空間電場，由于雷電先導和高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)的存在，導致整個空間的邊界條件發(fā)生改變，因此產(chǎn)生此種畸變，這種畸變的電場起到整體上吸引先導的作用，先導向空間電場強場處發(fā)展，滿足現(xiàn)有雷電分形發(fā)展基本特性中的確定性[1,27]。

雷電先導從最初無明顯指向性逐步轉(zhuǎn)變?yōu)檎w向高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)發(fā)展，這種轉(zhuǎn)變發(fā)生在某個雷電通道分支的頭部與整個高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)間的空間電場強度因隨雷電通道發(fā)展不斷畸變而增加至某個閾值時，由此表明與文獻[1]描述結(jié)果一致，即高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)具備引雷能力。另外由多次仿真表明高架橋的存在使得AF線高度增加，導致其引雷范圍變大，因而大部分雷電都擊中了AF線，此結(jié)論也與文獻[1]所述結(jié)果一致。

圖7 仿真結(jié)果一

圖8 仿真結(jié)果二

3 不同影響因素下的雷擊率分布研究

3.1 AF線和T線工作電壓的影響

線路工作電壓不同引入空間的邊界條件就不同，邊界條件不同則空間電場分布就不同，不同的空間電場即會產(chǎn)生不同的接觸網(wǎng)雷擊率。本文考慮了AF線和T線同時工作電壓存在與否對雷擊率的影響，一種情況為模型中取AF線和T線工作電壓參數(shù)為0，另一種情況為模型中取AF線和T線工作電壓為反相27.5 kV，經(jīng)模型反復計算得到2種不同的雷擊率情況，見表1。本節(jié)的仿真前提是高架橋高度12 m，先導起始位置為圖2中的點(150,300)處，雷電流幅值為45 kA。

表1 AF線和T線工作電壓影響下的雷擊率分布

由表1可見T線與PW線雷擊率為0，左AF線雷擊率加右AF線雷擊率即為接觸網(wǎng)系統(tǒng)雷擊率。因AF線高度均大于T線和PW線的高度且距離T線和PW線很近故AF線能起到有效屏蔽T線和PW線遭受雷擊。另外，左AF線和右AF線的雷擊率非常接近理論上的預期概率值，即表1中接觸網(wǎng)系統(tǒng)總雷擊率的一半，符合概率論中概率隨試驗次數(shù)的增加逐步逼近概率的規(guī)律。由表中AF線和T線存在工作電壓時的雷擊率略高于無工作電壓時的雷擊率，線路工作電壓對接觸網(wǎng)系統(tǒng)的雷擊率一定程度上會產(chǎn)生影響，因AF線和T線工作電壓引入的邊界條件使得空間電場發(fā)生畸變，從而導致雷電先導更易朝接觸網(wǎng)系統(tǒng)發(fā)展，但又因接觸網(wǎng)系統(tǒng)引入電壓較雷電引入空間電位較小，所以有無AF線和T線工作電壓時的接觸網(wǎng)系統(tǒng)雷擊率相差較小。

3.2 高架橋高度的影響

高架橋高度指高架橋橋面與地面間的垂直距離。高架橋高度作為引入空間的邊界條件之一，其數(shù)值的改變會導致空間中邊界條件的改變，邊界條件不同則空間電場分布不同，從而導致雷擊率的不同。分別取高架橋高度為0、5、12、20、30 m反復仿真，得到了5種不同的雷擊率分布，見表2。本節(jié)的仿真前提是先導起始位置為圖2中的點(150,300)處，雷電流幅值為45 kA，AF線和T線存在工作電壓。

表2 高架橋高度影響下的雷擊率分布

由表2同樣可見3.1節(jié)中所述的2種結(jié)論，進一步說明了該結(jié)論的可靠性：其一是T線和PW線能夠被AF線有效屏從而不被雷擊；其二是左、右AF線雷擊率均約為預期概率值。高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)的各部分雷擊率隨高架橋高度變量的變化特性見圖9。

圖9 高架橋高度影響下的雷擊率分布

由圖9可知，高架橋高度為0 m時的雷擊率不為零是由高架橋結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)運行電壓引入的邊界條件所致，空間電場在此情況下畸變，接觸網(wǎng)系統(tǒng)因而更容易被雷電擊中，間接說明高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)自身存在引雷能力。高架橋高度的增加改變了高架橋結(jié)構(gòu)引入的邊界條件，更嚴重地畸變了空間電場，增強了接觸網(wǎng)系統(tǒng)的引雷能力，使得左AF線、右AF線和接觸網(wǎng)系統(tǒng)的雷擊率隨高架橋高度的增加呈現(xiàn)逐漸上升的趨勢，而在總雷擊率一定的前提下，又使得高架橋本身及大地的雷擊率呈現(xiàn)不斷下降的趨勢。當高架橋高度小于20 m時趨勢變化逐步放緩，當高架橋高度大于20 m后趨于平穩(wěn)，平穩(wěn)時雷電均擊中接觸網(wǎng)系統(tǒng)，此時接觸網(wǎng)系統(tǒng)雷擊率接近1。左、右AF線雷擊率趨勢因雷電分形基本特性中的隨機性表現(xiàn)為圍繞預期概率值的水平線縱向小幅度振蕩。

3.3 雷電流幅值的影響

雷電流幅值的改變顯而易見會使空間電場發(fā)生改變，因此在不同的雷電流幅值下會形成不同的空間電場，從而得到不同的雷擊率。此處模型中分別取45、 68、90、135、225 kA的雷電流幅值來計算，得到表3中5種不同的雷擊率分布。本節(jié)的仿真條件為高架橋高度12 m，先導起始位置為圖2中的點(150,300)處，AF線和T線存在工作電壓。

表3 雷電流幅值影響下的雷擊率分布

由表3同樣可見上述2種結(jié)論，進一步證明了結(jié)論可靠：其一是AF線能夠有效屏蔽T線和PW線的雷擊；其二是左、右AF線雷擊率是接近預期概率值的。高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)的各部分雷擊率隨雷電流幅值的變化趨勢見圖10。

圖10 雷電流幅值影響下的雷擊率分布

由圖10可知，雷電流幅值為45 kA時因高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)引入的邊界條件導致空間電場畸變使得此時雷擊率就已經(jīng)不低，接觸網(wǎng)系統(tǒng)本身比橋身及大地更容易受到雷擊，其隨雷電流幅值變化的雷擊率為逐漸上升且逐步放緩的趨勢，反之由于總雷擊率是一定的，高架橋及大地隨雷電流幅值變化的雷擊率為逐漸下降且逐步放緩的趨勢，當雷電流幅值大于70 kA后，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的雷擊率約為1，雷電大多都擊中接觸網(wǎng)系統(tǒng)，左、右AF線雷擊率仍然因雷電發(fā)展基本特性中的隨機性在預期概率值水平線附近縱向震蕩。導致上述現(xiàn)象的原因可歸納為：高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)本身具備引雷能力；雷電流幅值引入的邊界條件對空間電場有顯著影響從而增大了接觸網(wǎng)系統(tǒng)的引雷能力。

3.4 下行先導起始位置的影響

本文中下行先導起始位置是指圖2空間中的下行先導起始處的x坐標值。雷電實際產(chǎn)生的下行先導起始位置并非固定一處位置，而是可能從高架橋上方的雷云下表面任意位置起始。不同位置起始的雷電下行先導會引入不同的邊界條件從而影響空間電場分布，使得高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)的雷擊率不同。此處模型中分別取該位置變量為50、80、120、150、180、220、250 m計算，得到表4中7種雷擊率分布。本節(jié)仿真條件為高架橋高度12 m，雷電流幅值45 kA，AF線和T線存在工作電壓。

由表4的數(shù)據(jù)同樣可得上述T線、PW線被AF線有效屏蔽雷擊的結(jié)論。但不同的是，由于除150 m外的其他6中情況的下行先導未從正中間起始，破壞了空間對稱條件，左AF線和右AF線的雷擊率只有在下行先導起始位置為150 m時接近預期概率值。從表4可以看出,即使空間條件不對稱，AF線也能有效屏蔽T線和PW線的雷擊。左AF線、右AF線、接觸網(wǎng)系統(tǒng)、高架橋及大地的雷擊率隨下行先導起始位置的變化趨勢見圖11。

表4 下行先導起始位置影響下的雷擊率分布

圖11 下行先導起始位置影響下的雷擊率分布

由圖11可見，由于空間條件、接觸網(wǎng)系統(tǒng)、高架橋及大地對稱，因此這些雷擊率曲線同樣關于x=150 m對稱。下行先導起始位置與高架橋間距離關系到接觸網(wǎng)系統(tǒng)雷擊率的大小，此距離越近引入的邊界條件越容易畸變空間電場從而增大高架橋接觸網(wǎng)系統(tǒng)的引雷能力，其雷擊率越大，反之則越小。接觸網(wǎng)系統(tǒng)的雷擊率加高架橋及大地的雷擊率為1，故當前者達到最大時后者為最小值。由圖可見，左AF線與右AF線的雷擊率曲線關于x=150 m互為對稱分布，左、右AF線雷擊率分別在x=80 m和x=220 m時達到最大值，此2點均為“引雷能力轉(zhuǎn)移點”，此時左、右AF線間雷擊率差值也達到最大，即接觸網(wǎng)系統(tǒng)從同時依賴于兩根AF線獲得引雷能力轉(zhuǎn)換為此時主要依賴于其中一根AF線獲得引雷能力的狀態(tài)，進一步得到x≤80 m時主要依賴左AF線獲得引雷能力，而x≥220 m時主要依賴右AF線獲得引雷能力。

4 結(jié)論

(1)接觸網(wǎng)的工作電壓明顯小于雷電流產(chǎn)生的空間電位，對雷擊率的影響不大。而其他3個因素均會對接觸網(wǎng)系統(tǒng)雷擊率產(chǎn)生影響。

(2)高架橋高度增加或雷電流幅值增大均會使接觸網(wǎng)系統(tǒng)的雷擊率上升，其上升逐步放緩直至達到最大值，在此趨勢中當高架橋高度大于20 m或雷電流幅值大于70 kA時，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的雷擊率達到上限值，此時雷擊幾乎都發(fā)生在AF線上。

(3)下行先導起始位與高架橋間距離越大接觸網(wǎng)系統(tǒng)的雷擊率越小，雷擊率分布曲線關于x=150 m對稱。左、右AF線雷擊率分布曲線同樣關于x=150 m互為對稱分布。接觸網(wǎng)系統(tǒng)在x≤80 m和x≥220 m區(qū)間時分別主要依賴左AF線和右AF線來獲得引雷能力。

(4)從各因素與雷擊率間的關系曲線可見AF線均能有效屏蔽T線和PW線，從而在一定程度上說明了AF線為接觸網(wǎng)系統(tǒng)的防雷保護要點。