基于MI-Granger-NARX融合模型的鐵路網規模測算方法

錢名軍，李引珍，何瑞春，曾海軍

(1.蘭州交通大學 交通運輸學院，甘肅 蘭州 730070；2.寧波軌道交通集團運營分公司，浙江 寧波 315101)

作為國民經濟大動脈、關鍵基礎設施的鐵路交通系統，是我國現代化綜合交通運輸體系的重要骨干和實現“交通強國”戰略的主要力量，其建設規模和發展質量將對國家的經濟社會乃至資源生態環境等產生重要影響。因此，為更好地發揮鐵路對經濟、社會持續健康發展的促進和先導作用，切實提高鐵路網規劃建設的科學性和前瞻性，需要我們從廣闊的視角和長遠的戰略來探究鐵路網發展規律，研究鐵路網建設規模問題，進而為鐵路交通部門制定科學合理的鐵路網中長期發展規劃和年度鐵路建設計劃提供科學決策依據，以實現鐵路建設資金的有效投入、鐵路網絡系統的健康發展。

一個國家的鐵路網發展規模和建設進程除了有其自身內在的形成及演化機理和運行機制外，在很大程度上還受到人口和資源數量及分布、經濟社會發展、交通運輸政策等外部因素的影響。這些因素與鐵路系統相互作用、彼此影響，形成了一個復雜巨系統。這使得鐵路網規模測算成了一個系統而復雜的難題，難以建立準確的解析數學模型。

目前，交通網里程規模的測算方法主要有統計模型法[1]、運輸需求分析法[2-4]、類比研究法[5]、網絡分析法[6-8]、BP神經網絡模型[9]等。文獻[1]構建了鐵路網密度與人口密度、人均GDP之間的宏觀規模需求統計模型，并針對地理環境、產業結構、政策偏好等影響因素設計了依賴-偏好指數對模型進行修正。文獻[2]針對城市軌道交通線網規模需求的梯度效應、彈性效應等，結合城市經濟承受力、環境資源容量等外部約束，給出了相應的軌道交通規模匡算模式。文獻[5]從路網密度、運輸負荷、網距和路網強度4個方面將我國鐵路網與典型國家鐵路網進行類比研究，以此來推斷我國鐵路網的適宜規模。文獻[6]根據中國鐵路網的層級結構特點，綜合采用連通度法和GIS技術來測算鐵路網總規模。文獻[9]通過對公路網規模影響因素的分析，建立了基于BP神經網絡的公路網規模預測模型。這些測算方法的適應性、實用性和測算精度不一而足，選取的研究指標差異較大，大多僅憑經驗或定性分析即決定影響變量的取舍，未作科學的論證篩選，且主要側重于終極穩態下的路網總里程規模測算,而對社會經濟系統與鐵路網規模的協同匹配關系與時序演進規律考慮較少，無法根據某一具體年度或相應時期的經濟社會發展指標對鐵路網建設的合理規模進行準確測算。

實際上，由圖1可知，近20多年來，隨著經濟的持續發展和社會的穩定繁榮，我國的鐵路網里程規模與人口密度、人均GDP、社會消費品零售總額、居民消費水平、全社會客貨運量、鐵路運輸業固定資產投資等指標變量的時序變化趨勢，盡管短期變化方向、波動幅度不盡一致，但長期趨勢密切相關。

圖1 1993—2019年鐵路網里程與相關變量的時序變化趨勢

基于此，本文在綜合分析鐵路網規模內外部影響因素的基礎上，首先，運用互信息(Mutual Information，MI)理論和Granger因果關系檢驗對12項初選指標變量進行篩選，得到對鐵路網里程規模影響力度最大、解釋能力最強的7個變量。然后，引入具有動態反饋調節和延遲單元、帶外部輸入的非線性自回歸神經網絡(Nonlinear Auto-Regressive Models with Exogenous Inputs Neural Network，NARX)建立鐵路網規模測算模型，以篩選所得7個指標變量作為NARX網絡的自變量輸入，鐵路網里程序列作為自回歸因變量輸入，來測算鐵路網里程規模。最后，通過算例驗證了本方法的有效性和測算精度。

1 相關性理論與NARX原理

1.1 多元變量相關性理論

(1)互信息理論

作為多變量相關性分析方法，互信息法從信息論角度出發，運用“熵”的概念來量化測度變量間共有信息的多少，以反映變量間相互依賴的強弱程度[10]。與典型相關性分析方法要求變量數據均服從正態分布且只能測度線性相關關系相比，互信息為無參數估計法，對變量數據的分布類型沒有特殊要求，既能準確刻畫線性相關關系，又能有效捕捉非線性相關關系。因此，適用于鐵路網非線性系統的特征變量篩選。

定義1：設離散型隨機變量X，概率分布為p(x)，則度量其信息含量(信息結構、不確定性等)的信息熵為

(1)

定義2：若離散型隨機變量X、Y的邊緣概率分布和聯合概率分布分別為p(x)、p(y)和p(x,y)，則已知X條件下Y的條件熵為

(2)

已知Y條件下X的條件熵為

(3)

(X,Y)的二維聯合熵為

(4)

定義3：聯合概率分布p(x,y)與邊緣概率分布p(x)、p(y)的相對熵即為互信息I(X,Y)

(5)

當兩變量相關性越大、相互依賴程度越高，所包含的共同信息也越多，互信息值I(X,Y)越大。反之，當變量X和Y完全無關或相互獨立時，意味著兩變量間不存在共同信息，互信息的結果最小為0。

(2)Granger動態因果關系檢驗

Granger因果關系檢驗用于經濟變量間動態相關關系的量化分析[11]。它假設每個相關變量的預測信息都包含在其時間序列中，常用于檢驗一個變量是否對另一個變量具有解釋、預測能力。

對于同階單整的平穩時間序列Xt、Yt，Granger因果檢驗要求估計以下廣義回歸模型：

無約束回歸模型：

(6)

有約束回歸模型：

(7)

式中：Yt、Yt-j分別為被解釋變量的當期值和j期滯后值；Xt-i為解釋變量的滯后i期值；ai、βj、λj為回歸系數；m、n、p為對應變量的最大滯后期；μ1 t、μ2 t為誤差項。

通過構造上述方程的F統計量即可實現Granger檢驗[12]。利用式(6)、式(7)分別進行包含與不包含外生變量X滯后項的最小二乘回歸，得相應殘差平方和記為URSS、RRSS，則對應的F統計量為

(8)

式中：n為X的滯后項個數；N為樣本容量。

如果F值大于給定顯著水平下響應臨界值Fα(n,N-2n-1)，則拒絕原假設，即認為“變量X是變量Y的Granger原因”，也說明變量X的過去值有能力解釋、預測變量Y的值。反之，則接受“變量X不是變量Y的Granger原因”的原假設，即變量X對變量Y的變化沒有解釋、預測能力。

1.2 NARX原理

帶外部輸入的NARX是一種動態遞歸神經網絡。相較于靜態、無反饋的前饋神經網絡如BP網絡，NARX網絡具有反饋結構和延遲單元，不僅考慮了外部輸入對輸出產生的影響，而且通過延遲單元將輸出反饋也引入到靜態多層感知器，使輸出層能實時地將包含歷史信息的輸出數據反饋到輸入層，參與下一次的迭代訓練，從而使網絡具有動態記憶性且系統信息保留更加完整，提高了模型的學習能力和預測精度[13-14]。同時，其收斂速度和學習效率也優于BP網絡和全回歸網絡[15]。

(1)NARX的神經網絡結構

本文采用的NARX網絡為多輸入單輸出結構，主要由輸入層、隱含層、輸出層和輸入、輸出延遲單元構成，模型結構見圖2。

圖2 NARX動態神經網絡結構圖

模型方程為

(9)

式中：fh、fo分別為訓練得到的隱含層、輸出層非線性映射函數；bh、bo分別為隱含層、輸出層閾值；dx、dy分別為輸入、輸出延遲階數；M為網絡隱含層神經元數；Wh,i、Wh,j、Wh,o分別為輸入層與隱含層、反饋連接與隱含層、隱含層與輸出層之間的權重系數；y(t)為t時刻神經網絡的預測輸出值，y(t-j)，(j=1,2,…,dy)為t-j時刻系統的輸出值；xk(t-i)，(k=1,2，…,p;i=1,2,…,dx)為神經網絡第k個外部輸入變量序列在t-i時刻的輸入值，p為外部輸入變量序列維數。

(2)NARX神經網絡參數確定

運用NARX模型進行測算時，確定其隱含層的神經元個數和模型的輸入、輸出延遲階數是關鍵。

①隱含層神經元數M

隱含層神經元個數決定了所建模型的復雜程度。隱含層神經元個數為

(10)

式中：M為隱含層神經元個數；I為輸入層神經元個數；O為輸出層神經元個數;a為0到10之間的常數。

②輸入、輸出延遲階數d

延遲階數表示當前輸出值會受到前幾期輸入值的影響。采用AIC(Akaike’s Information Criterion)準則確定，表達式為

AIC(d)=lnA+2d/N

(11)

綜上，NARX網絡兼具時間序列回歸模型和非線性動態神經網絡的優點，非常適合結構復雜的非線性、時變系統的時間序列預測建模，日益成為非線性動態系統中應用廣泛的一種神經網絡。

2 鐵路網規模主要影響因素的相關性分析

2.1 鐵路網規模主要影響因素的定性分析

研究表明，影響鐵路網規模的因素眾多，可歸納為外部因素和內部因素兩大類。外部因素涉及自然地理、經濟社會和交通政策等方面，內部因素涉及鐵路系統自身的運營技術和組織效率等方面。

(1)自然地理因素

自然地理包括國土面積、人口與資源數量及分布。國土面積越大、人口與資源數量越多、分布越廣，則一定程度上需要規劃更大規模的鐵路網才能滿足需求，以實現交通路網合理布局。

(2)經濟社會因素

經濟、社會的發展規模和質量直接影響鐵路客貨運輸需求，進而決定鐵路網的建設規模。伴隨經濟的繁榮、社會的發展，GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平等指標逐步增長，帶動越來越多的人員、物資等生產要素的流動、聚合形成更大的客貨運量，進而推動鐵路網規模有序擴張，以改善交通運輸環境、提高運輸服務質量。

所以，當鐵路網規模與經濟、社會發展階段匹配適度時，不僅能滿足當前國民經濟發展的現實需求，還能激發或吸引潛在的客貨運輸需求，對經濟、社會發展具有明顯的推動和先導性作用。當鐵路網規模與經濟、社會發展匹配失度時，建設過于超前易造成路網設備設施利用率低下、浪費國家投資，建設過于滯后則易導致路網通行能力無法滿足現實需求、制約經濟持續健康發展。可見，鐵路網規模與經濟、社會發展之間存在相互促進、彼此制約的相互關系。

(3)交通政策因素

交通政策主要表現為對相應交通運輸方式的固定資產投資額。對鐵路運輸業的固定資產投資額度直接影響鐵路網基礎設施的建設規模、發展質量，并最終影響到客貨運量結構、運輸市場份額等。

(4)運輸技術和組織管理因素

運輸技術和組織管理包括鐵路運輸密度、貨車周轉時間、貨車平均靜載重等指標。運輸密度是一定時期客貨運周轉量與其路網里程的比值，是衡量運能與運量匹配適應程度的指標。為確保運輸密度在合理范圍，鐵路網里程規模需求與運量匹配適度。貨車周轉時間指貨車每完成一次周轉所平均消耗的時間，是反映日常運營組織效率的指標。貨車周轉時間越小，則機車車輛周轉速度越快，運輸組織效率越高，完成相同的運輸量需要的鐵路網規模就越小。貨車平均靜載重是反映貨車在裝車或重車狀態下標記載重量利用率的重要指標。它不僅受車種型號、車輛構造及所運貨物的性質尺寸、包裝狀況等影響，還與鐵路部門的貨物裝載技術方法密切相關，是評價貨運組織質量優劣的重要指標之一。該值越大，則完成相同運量需要的貨車數量越少，即單位里程的運輸能力和效率越大，需要的鐵路網里程就越少。

因此，本文綜合現有研究成果[4-6,8]并考慮指標數據的可得性、代表性和完備性，初步選取人口密度、人均GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨運量、全社會客運量、貨物周轉量、旅客周轉量、鐵路運輸業固定資產投資、鐵路運輸密度、貨車周轉時間、貨車平均靜載重共12項指標作為影響鐵路網里程規模的內外部因素的表征指標集，見表1。

表1 影響鐵路網規模的內、外部因素

在不同的經濟、社會發展階段，上述因素共同作用決定了當時及未來一段時期的鐵路網適宜規模。

2.2 影響因素的互信息相關性分析

為檢驗上述基于定性分析所選取的12項影響因素與鐵路網里程規模的相關性強弱，以1993—2019年的相關數據序列為研究樣本，利用式(5)求出各影響因素與鐵路網總里程和普速鐵路里程的互信息值，見表2。其中“普速鐵路里程=鐵路網總里程-高速鐵路里程”(我國自2008年起才有真正意義上的高速鐵路里程統計數據，在此之前按0公里計算)。

表2 各變量互信息值

由表2可知，人口密度、人均GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨運量、貨物周轉量、旅客周轉量、鐵路運輸業固定資產投資、貨車平均靜載重這9項指標變量與鐵路網總里程及普速鐵路里程的互信息值均高于0.8，從統計學意義上認為其對鐵路網規模的影響力度極大、相關性極強。而全社會客運量、鐵路運輸密度和貨車周轉時間這3項指標與鐵路網里程的互信息值均低于0.6，從統計學意義上認為其對鐵路網規模的影響力較弱、關聯性較低，可直接從初始指標集中予以剔除。同時，全社會貨運量與貨物周轉量均為全社會貨運規模的表征指標，彼此間的相關性達0.989 9，為避免輸入變量的高自相關性出現過擬合而影響模型測算精度，本文保留與鐵路網規模相關性更高的全社會貨運量指標，而剔除相關性略低的貨物周轉量指標。

至此，影響因素變量由原來的12個約簡為8個：X1為人口密度；X2為人均GDP；X3為社會消費品零售總額；X4為居民年均消費水平；X5為全社會貨運量；X6為旅客周轉量；X7為鐵路運輸業固定資產投資；X8為貨車平均靜載重。這在一定程度上去除了輸入變量中的冗余信息、降低了變量維度，可避免出現過擬合現象。

2.3 影響因素的Granger因果關系檢驗

為確保基于互信息法所篩選變量對鐵路網規模的解釋、預測力度，提高測算模型的穩定性、收斂效果和泛化能力，需對8個變量再進行Granger因果關系檢驗。

(1)變量序列平穩性檢驗

為消除不同序列量綱單位和異方差的影響，又不改變數據間的協整關系，需對各變量序列進行自然對數標準化處理。

為防止偽回歸現象，進行Granger檢驗前，先用ADF單位根檢驗法對各變量序列進行平穩性檢驗。ADF檢驗表明，因變量鐵路網總里程的對數序列LYz、普速鐵路里程的對數序列LYp和8個解釋變量的對數序列LXi(i=1,2,…,8)均不同程度具有趨勢項或截距項，接受存在單位根的原假設，即原變量對數序列都是非平穩序列。而各變量所對應的一階差分序列ΔLYz、ΔLYp、ΔLXi(i=1,2,…,8)經ADF檢驗，均拒絕存在單位根的原假設，呈現出較好的平穩性，其一階差分序列的ADF檢驗結果見表3。

表3 各變量一階差分序列的ADF檢驗結果

由表3可知，因變量Yj(j=z,p)和解釋變量Xi(i=1,2,…,8)的一階差分序列對應的ADF檢驗統計量均至少小于5%的顯著性水平臨界值，其接受存在單位根的相伴概率均低于5%，也就是說至少在95%的置信度水平下各一階差分序列均拒絕存在單位根的原假設，表明各差分序列的平穩性良好，滿足協整檢驗條件。

(2)Johansen協整檢驗

協整檢驗是用于判斷鐵路網規模變量Yj(j=z,p)與其解釋變量Xi(i=1,2,…,8)是否存在長期穩定的均衡關系[16]。因涉及3個及以上變量的協整分析，故采用Johansen協整檢驗法，且該方法包含了跡檢驗和最大特征值檢驗兩種方法，可使結論更穩健。依據最小AIC準則，選取最佳滯后階數為2。協整檢驗結果見表4、表5。

從表4、表5可見，Johansen協整檢驗的兩個對應結果均顯示，各原假設的檢驗統計量都明顯大于其5%顯著水平下的臨界值，且接受原假設的概率都小于0.05，這表明協整方程的個數不止7個而至少有8個。因此，驗證了鐵路網規模變量Yj(j=z,p)與人口密度X1、人均GDPX2等8個解釋變量均存在長期穩定的協整關系，具備進行Granger因果關系檢驗的條件。

(3)Granger因果關系檢驗

為避免Granger因果關系檢驗受變量平穩程度或樣本容量長度的影響，本文針對鐵路網規模變量Yj(j=z,p)與解釋變量Xi(i=1,2,…,8)的相互關系進行了1～6階滯后期的Granger檢驗，以排除滯后期敏感性對檢驗結果的影響。限于篇幅分別只列出了滯后1～3期的檢驗結果，見表6、表7。

表4 總里程與解釋變量的Johansen協整檢驗結果

表5 普速鐵路里程與解釋變量的Johansen協整檢驗結果

表6 總里程與解釋變量間的Granger因果關系檢驗

從表6、表7可見，在90%的置信度水平下，除了人口密度X1連續6期的檢驗結果均不同程度接受了“不是鐵路網總里程LYz和普速鐵路里程LYp的Granger原因”的原假設外，其余7個變量均顯著拒絕了“不是鐵路網總里程LYz和普速鐵路里程LYp的Granger原因”的原假設。這表明人口密度X1很大程度上并不是推動鐵路網里程規模Yj(j=z,p)增長的Granger原因，而人均GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨運量、旅客周轉量、鐵路運輸業固定資產投資和貨車平均靜載重等7個變量的增長才是推動鐵路網里程增長的Granger原因。

通過進一步的Granger因果關系檢驗，篩選出了對鐵路網里程規模最具解釋力的7個變量，有力支撐了模型輸入變量選取的科學合理性。

表7 普速鐵路里程與解釋變量間的Granger因果關系檢驗

3 測算實例

3.1 數據來源及預處理

文中鐵路網里程、年度總人口、GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨物運輸量、全社會旅客運輸量、貨物周轉量、旅客周轉量、鐵路運輸業固定資產投資、全國鐵路客貨運總換算周轉量、貨車周轉時間、貨車平均靜載重等統計指標數據，分別是從國家統計局官網、《鐵道統計公報》(2000—2019年)和《鐵路運輸生產建設統計公報》(1993—1999年)中提取整理得到。

根據研究需要，將各序列按照85%、15%的比例劃分為訓練集和測試集，并按模型對輸入數據的格式要求進行元胞化轉換。

3.2 NARX神經網絡訓練

將經過Granger動態因果檢驗的7個解釋變量序列Xi(i=2,3，…,8)作為外部輸入項，將鐵路網規模變量Yj(j=z,p)分別作為自回歸輸入項，運用MatlabR2017b構建NARX網絡模型。根據式(10)、式(11)計算得出神經元個數和延遲階數，并結合程序運行效果，綜合確定隱含層神經元個數為12，輸入、輸出延遲階數為2。為提高模型測算精度、泛化性能，先用開環(Open-loop)結構，采用以網絡權值平方和與誤差平方和加權值作為性能評價函數的貝葉斯正則化算法(Bayesian Regularization，BR)來訓練網絡，訓練精度設置為10-3，最大迭代次數為1 000次。

圖3為鐵路網總里程Yz的NARX測算模型迭代訓練效果圖，共循環迭代163步后訓練停止，迭代至第63步時即達到穩定效果，此時整個數據集的均方誤差為0.007 5。

圖3 NARX網絡訓練效果圖

圖4為3個對應數據集的線性回歸系數擬合優度。可見擬合優度值R都非常接近1，表明預測值與目標值高度吻合，模型具有良好的泛化能力和預測性能。

圖4 模型回歸系數擬合優度

圖5 預測效果誤差圖

圖5為NARX網絡預測效果誤差圖，其中豎直方向的黃色線段表示預測值與實際值的誤差，該線段越少、越短即表示網絡預測效果越好。由圖5可見，預測值與實際值誤差很小，最大誤差不超過0.2，表明此NARX動態神經網絡的預測精度較高，適用于鐵路網里程規模的準確測算。

圖6為NARX網絡預測誤差自相關圖，其值在滯后階數為0時應該最大，其他情況以不超過95%的置信區間為最佳。由圖6可見，誤差自相關系數除0階以外，其他階數的值都在置信區間以內且近乎為0。說明該模型各延遲階數的預測誤差是彼此獨立、非線性、不相關的，證明模型的預測性能良好。

表8 4種神經網絡模型的測算性能對比

圖6 模型誤差自相關圖

綜上，可以判斷所構建的NARX神經網絡模型達到了預期效果，可用于鐵路網里程規模的測算。

3.3 測算性能檢驗

(1)平均絕對百分誤差δMAPE

(12)

(13)

將訓練好的MI-Granger-NARX融合模型調成閉環結構(Close-loop)對2017—2019年的鐵路網總里程進行測算，并與其他3種神經網絡測算結果和相應年度的鐵路網總里程實際數據進行對比，見表8。

同時，根據本模型可以測算出2020年底我國鐵路網總里程規模將達到14.63萬km，其中普速鐵路里程為10.73萬km、高速鐵路里程為3.90萬km。也就是說，我國鐵路網建設進程若不因當前宏觀發展趨勢的波動而出現重大調整，則2020年度我國將新增約0.65萬km鐵路線路，其中高鐵新增約0.40萬km。這與2016年版《中長期鐵路網規劃》中“到2020 年，鐵路網規模達到15萬km”的規劃目標非常接近。從國民經濟發展狀態及趨勢來看，目前我國普速鐵路發展基本協調，高速鐵路發展較為迅速。未來我國普速鐵路、高速鐵路均還有一定的發展空間，但都應確保與國民經濟發展需求相適應、相匹配。

4 結論

(1)影響我國鐵路網里程規模的因素眾多，但起決定作用的因素主要是人均GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨運量、旅客周轉量、鐵路運輸業固定資產投資和貨車平均靜載重等7項指標。

(2)互信息法和Granger因果關系檢驗作為統計意義上的相關性量化檢驗方法，其結果對鐵路網規模測算變量的篩選有重要作用，可使模型輸入變量解釋能力更強、測算方法更具穩健性和科學性。

(3)將帶外部輸入的非線性自回歸神經網絡NARX用于鐵路網規模測算是可行的，模型較傳統神經網絡泛化能力更好、測算結果精度更高。

基于MI-Granger-NARX融合模型的鐵路網規模測算方法，綜合吸納了人均GDP、居民消費水平、全社會貨運量等對鐵路網規模影響力度最大、解釋能力最強的經濟、社會發展和運輸需求諸多指標作為輸入變量，同時考慮了復雜系統的延遲效應。不僅能根據當前的經濟、社會和行業發展數量、質量指標測算出下一年的鐵路網規模，為年度鐵路網建設計劃確定合理可行的執行方案；還能根據中遠期經濟、社會和行業發展的預期數據，測算出相應時期的鐵路網適宜規模，為中長期鐵路網規劃提供科學有效的決策參考。