在質疑中提升思維的質量—一道關于圓的方程高考題的講評

?湖南省寧鄉市第一高級中學

唐新陽

1 問題的產生

在一次高三第一輪復習調研考試中，命題者采用了1997年的全國高考第25題．原題如下：

設圓滿足：(1)截y軸所得弦長為2；(2)被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1.在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程．

本次調研中此題的得分率很低，因此，筆者針對這個題進行了講評．

2 講評的過程

由于學生已經做過，筆者先引導大家學習了該題的一個標準答案(參考答案中的一個答案)．

解：設圓心C(a,b)，半徑為r，則可設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2．

由條件(1)可知

r2-a2=1

①

由條件(2)可知，劣弧所對的圓心角為90°，得

r2=2b2

②

由①②式知，2b2-a2=1

所以，圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2，或(x+1)2+(y+1)2=2．

2.1 質疑產生

學生A：老師，我覺得這里利用重要不等式a2+b2≥2ab求d的最小值時，有很大的巧合性．如果將題目進行改動，則完全不是這種情況．

這時，教室里一陣嘩然，因為他提出的想法是在直接質疑參考答案的科學性．同學們紛紛開始討論．

師：好，請談談你的改動．

學生A：我們不妨把直線方程改為x-3y=0，得

而這里-2a2+6b2不是定值，因此，這樣是求不出d的最小值的．

看到這個結論，同學們開始思考這個問題更一般的解決方法．

2.2 問題的討論與解決

學生B：老師，我找到了原題的一種更一般的解法．

學生B的解答如下：

將a2=2b2-1代入整理，得

③

所以，圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2，或(x+1)2+(y+1)2=2．

學生B：這種解法對直線方程為x-3y=0也同樣適用．這里我為什么這樣做呢，因為平方不能解決根本問題，而去絕對值的方法除平方外還可以直接用定義，這里消元以后就轉化為常見的一元二次方程在實數范圍內恒有解的問題，從而淡化了這個題利用不等式解題的技巧性思路，是一種通法．

師：很好，你在質疑的過程中，將一個最值問題轉化為二次方程有解的問題，利用判別式來求最值，這是我們處理含有二次式的最值問題常用的方法.只是要注意二次方程是在給定的變量范圍內有解，這是一個常規方法，但要注意使用的條件．

因為2b2-a2=1，故可令

④

由ma2+nb2≥6ab，得mn=9.

對于原題我們也可以用這個更一般的解法．

師：你的想法十分大膽，也十分有見地，能夠將不等式的形式作出變形推廣，利用待定系數法，湊配出定值，通過定值成立建立方程求解，這也是我們有時利用不等式求最值時常要用到的變形技巧．

此時同學們對學生A的解答交口稱贊，投來佩服的目光．

學生C：假如我們得到的關于λ的方程沒有實數解或者有兩個都不為0的實數解怎么辦呢？

同學們開始討論，有人動筆計算其它不同的變式．最后學生A補充：事實上，不論怎么改，只要這個方程有解，它總是一個正數解和一個0．只不過暫時還沒能證明，但我相信能證明出來．因為這個過程中的數量關系是等價轉化的．

學生的積極性再一次被調動，學生D：A，B同學的方法很好，但我將圓的問題再一次回到幾何中去處理，有一個很好的解釋．這里注意到2b2-a2=1，而a，b分別是圓心C的橫坐標與縱坐標，易知圓心C的軌跡方程為2y2-x2=1，可以將問題轉化為求雙曲線2y2-x2=1上到直線x-2y=0距離最小的點的坐標．不妨設有直線x-2y=k，則當該直線與雙曲線相切時，這個切點即為點C．解答如下：

令Δ=8k2-8=0，得k=±1.

師：你的這種利用解析思想處理代數最值的方法很巧妙．有時我們得到二元變量的方程或不等式時，可以考慮是否能轉化為平面內的曲線或區域，再去考慮要求的二元變量運算式所表示的幾何圖形與曲線或區域的位置關系，從而得到最值．

3 教后反思

本節課筆者只開了個頭，但受到了同學們的質疑.在質疑過程中，同學們自主而又巧妙地解決這個問題.在這個過程中，學生思維得到了充分的“鍛煉”，揭示了問題的本質，提升了解題能力．而筆者在反思教學過程時不禁想到，我們在對一節課進行預設時經驗當然有很大的作用，但僅憑經驗而不考慮學生思維實際以及學生能力的教學預設都是不成功的．這也同時提醒筆者，教學預設要多想幾個“為什么”．