巧借兩點距離公式 妙解空間應用問題*

?江蘇省蘇州實驗中學

錢 寧

1 線段的長度問題

線段的長度問題往往可以直接轉化為空間兩點間的距離問題，利用對應的距離來進一步分析與應用.

例1在空間直角坐標系中，點A(1，2，-1)，點C與點A關于平面xOy對稱，點B與點A關于x軸對稱，則|BC|的值為( ).

分析：先根據條件中的軸對稱、面對稱來確定相應點的坐標，再利用空間中兩點間的距離公式直接求解即可.

點評：空間中兩點間的距離公式除了可直接求解對應線段的長度外，還可以間接用來確定平面幾何圖形的邊長、形狀等相關問題，此時直接利用空間兩點間的距離公式轉化是最基本、最有效的方法.

2 坐標的求解問題

坐標的求解問題往往直接轉化為空間中兩點間的距離問題，利用已知的距離通過相應的方程來求解對應的坐標.

例2在空間直角坐標系中，已知點A(4，5，6)，B(-5，0，10)，在z軸上有一點P，使|PA|=|PB|，則點P的坐標是______.

分析：根據條件設點P(0，0，z)，由|PA|=|PB|結合空間兩點間的距離公式建立關系式，通過解方程來確定參數z的值，進而確定點P的坐標.

解析：設點P(0，0，z)，則由|PA|=|PB|，可得

解得z=6，即點P的坐標是(0，0，6).

故填答案：(0，0，6).

點評：在空間直角坐標系中，往往先設出相應點的坐標，再利用題設條件建立相關式子，進而確定對應的坐標.這是解決坐標的求解問題比較常見的一種思維方式.

3 參數的確定問題

利用空間兩點間的距離公式可以解決對應的參數問題，涉及相應點的某個坐標參數、比值等.此類問題的求解往往結合空間兩點間的距離公式確定相應的參數值.

A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-2

分析：根據空間兩點間的距離公式建立關于x的二次方程即可確定參數x的值.

解析：根據空間兩點間的距離公式，得

整理得(x-2)2=16，解得x=6或-2.

故選：D.

點評：在空間直角坐標系中，兩點間的距離公式中包含七個量，即兩個點的橫坐標、縱坐標、豎坐標，以及對應的距離.已知其中六個量就可以求出剩下的一個量.

4 距離的最值問題

距離的最值問題往往通過空間兩點間的距離公式轉化為函數問題，進而利用函數的性質求解對應的距離的最值.

例4在空間直角坐標系中，試在xOy平面內的直線x+y=1上確定一點M，使它到點N(6，5，1)的距離最小，此時點M的坐標為______.

分析：根據條件設出點M的坐標，利用空間兩點間的距離公式表示|MN|，通過配方法結合二次函數的圖象與性質即可確定最值.

解析：由點M在直線x+y=1(xOy平面內)上，可設M(x，1-x，0)，那么

點評：由于空間兩點間的距離公式中的坐標都帶有平方，因此，利用距離公式求最值問題時，往往要通過轉化，利用二次函數的圖象與性質加以分析與求解.

5 軌跡的方程問題

軌跡的方程問題往往通過假設相應點的坐標，利用空間兩點間的距離公式建立相應的關系式，進而求解相關方程.

點評：此類問題建立在空間兩點間的距離公式的基礎上，通過公式的轉化來確定相應的軌跡.平面直角坐標系下的很多方法可以推廣到空間直角坐標系中，點的軌跡的求法就是一個典型的推廣.

6 知識的綜合問題

空間中點、線、角等相關的綜合問題往往通過空間直角坐標系的建立，結合空間兩點間的距離公式的應用來解決.

圖1

例6如圖1，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標系O-xyz.

(1)若點P在線段BD1上，且滿足3|BP|=|BD1|，試寫出點P的坐標，并寫出P關于y軸的對稱點P′的坐標；

(2)在線段C1D上找一點M，使點M到點P的距離最小，求出點M的坐標.

分析：(1)根據點P在線段BD1上，且滿足3|BP|=|BD1|確定點P的坐標，再結合對稱性確定點P′的坐標；(2)根據空間兩點間的距離公式確定|MP|的關系式，通過二次函數的配方，并結合相應的圖象與性質確定最值.

點評：解決此類空間的綜合問題，首先是建立合適的空間直角坐標系并列出相應點的坐標，利用點的位置，結合中點坐標公式、距離公式，以及點的對稱等性質來解決相應的綜合問題.

7 結束語

空間兩點間的距離公式作為一種工具，其應用非常廣泛，不僅只局限于此.隨著學習的深入，我們會越來越深刻地體會到，只要是空間直角坐標系中的相關問題，大都有空間兩點間的距離公式的影子存在，它是解決空間直角坐標系中問題的一個有力工具.