平面連桿機構運動分析的三角形解法

（山東科技職業學院，山東 濰坊 261053）

前言

連桿機構的連桿往往作平面復雜運動，有時需要分析連桿平面上某點的位移、速度和加速度。用解析法作機構運動分析，以四桿機構為例，如圖1所示，各桿長l1、l2、l3、l4、主動件l1角速度ω1和p點位置a、b，寫出閉環向量方程L1+L2=L3+L4，其投影代數方程為：

圖1

（1-1）（1-2）兩式組成的方程組中只有θ2、θ3兩個未知數，理論上可以求出，根據幾何關系，寫出連桿平面上P點的坐標：

把前面求出的θ2代入，可得到P點的坐標（Xp，Yp），將（1-1）、（1-2）式對時間取一次導數，可得到：

將（1-3）（1-4）式對時間取一次導數可得到P點速度，對（1-3）（1-4）（1-5）（1-6）繼續對時間取導數，可求出P點的加速度，致此完成P點的運動分析。該過程的第一步求解θ2、θ3是整個運動分析的基礎，但（1-1）（1-2）組成的方程組是一個超越方程組，用基本的數學變換是不能解出的，這就需要一個更好地求解θ2、θ3的方法[1]。

一、解法與思路

為了解決求解θ2、θ3的方法，以曲柄搖桿機構為例，構造出如圖2所示的多個三角形。

圖2

在△ABE、△ABD、△BDE中，根據三角形邊角關系可得到：

再利用余弦定理求出BD長度，則△BDC各邊長成為已知數，在△BDC中，利用余弦定理與反正切函數結合可求出∠CBD、∠BDC，從而得到：

由式（2-1）到（2-6）即是求解θ2、θ3的過程，主動桿轉到其他象限或轉過特殊位置時各三角形的形狀、相互位置關系會發生變化，式（2-1）到（2-6）是否仍然成立呢？下面分四種情形進行分析。

1.如圖3所示，曲柄在第二象限時，ED的長度為l4加AE長度，因為θ1＞90°， cosθ1＜0，AE＜0，所以式（2-3）成立，其他關系式與第一象限完全一樣。

圖3

2.曲柄處于第三象限且在左極限位置之前時，如圖4所示。

圖4

此時θ2成為△BFD的一個外角，其大小等于∠CBD與∠BDE的和，因為θ1＞180°，根據式（2-1）到（2-4）計算出的∠BDE＜0，所以式（2-5）成立，按圖θ3=π-（∠CDB-∠BDE）=π+∠BDE-∠CDB，考慮到∠BDE的符號，所以式（2-6）成立。

3.曲柄位于左極限位置之后或第四象限時，如圖5所示。

圖5

分析此時的圖形關系與各代數量的符號，其與情形（2）完全一致，（2-1）到（2-6）式都成立。如果曲柄與BC重合（兩個極限位置），其圖形位置關系與計算結果同樣如此。

4.對于曲柄處于特殊位置時，與AD重合時（圖形略），此時按圖形得到θ2=∠CBD，θ3= π-∠BDC，按（2-4）計算則得到∠BDE=0，所以（2-5） （2-6）成立式。

由此可得到計算θ2、θ3的通項公式（2-1）到（2-6），可據此編制程序對連桿平面上的任意一點進行運動分析，θ1在0—360°以一定間隔連續取值，經過計算后可繪出P點的運動軌跡曲線、速度曲線、加速度曲線[2]。

二、結論與展望

通過構造三角形的辦法，將用解析法對連桿機構進行運動分析的計算過程簡化，為程序編制提供了簡易可行的算法。

本文僅對曲柄搖桿機構進行了分析，根據運動圖形變化關系其結論可用于雙搖桿機構，對于雙曲柄機構，其桿長關系，運動圖形變化情形更為復雜，結論是否適用尚需進一步探討。