重力場中水平纖維懸垂液滴形狀的模型研究

陸天宏，周發賢，莊大偉，丁國良

（上海交通大學制冷與低溫工程研究所，上海200240）

引 言

泡沫金屬作為傳熱材料，具有高熱導率、比表面積大的特點[1-2]，可增加單位體積的換熱面積從而達到強化傳熱的作用[3-4]，在單相對流換熱[5-6]、冷凝除濕[7-10]、沸騰傳熱[11-13]和相變儲能[14-16]等領域都有廣闊的應用前景。在泡沫金屬應用于冷凝換熱的過程中，泡沫金屬纖維上形成的液滴若不能及時脫落，會和空間相鄰的金屬纖維連接形成液橋，從而堵塞泡沫金屬的孔隙，惡化換熱器的換熱性能[17-18]。避免在泡沫金屬纖維間形成液橋的有效方法是確保纖維間距大于纖維液滴的最大直徑。但是，增加纖維間距也會降低金屬纖維的密度和傳熱面積，從而減弱對傳熱性能的強化作用。為了避免液滴在纖維間形成液橋，同時最小化金屬纖維的間距以保證傳熱效率，這就需要一種可以預測金屬纖維上液滴形狀的描述方法。

已有關于纖維液滴形狀的研究表明，纖維液滴的形狀包括“桶狀”和“蛤殼狀”，液滴的形狀取決于纖維的半徑以及液滴體積[19-20]。對于桶狀液滴，McHale 等[21]基于Young-Laplace 方程，推導了沒有重力作用情況下液滴輪廓表面的數學表達式；Davoudi 等[22]提供了一種圖像分析多項式擬合的方法來描述非對稱桶狀液滴的輪廓表面。李健等[23]提出了一種基于液滴輪廓割線的纖維接觸角測量方案，可以將測量誤差控制在±2.5°以內。對于蛤殼形液滴，由于重力作用下液滴呈非對稱幾何形狀，因此無法獲得Young-Laplace 方程的解析解[24]。現有的研究主要使用有限元軟件Surface Evolve 來模擬蛤殼形液滴[21,25-26]，開發了忽略重力作用的液滴模型。Lu 等[20]假設蛤殼狀液滴的輪廓是在不同方位角下半徑變化的圓弧，開發了“變徑球帽模型”來表征停駐在纖維上方的液滴輪廓；Berim 等[27]基于系統分子間相互作用勢的微觀方法，通過總勢能極小化的方法推導了蛤殼狀液滴輪廓的微分方程。

在金屬纖維凝析液滴的過程中，隨著體積的不斷增大，重力作用明顯影響了液滴形狀，已有的忽略重力效應的纖維液滴模型難以描述重力場中纖維垂懸液滴的形狀。本文的目的是研究重力場中水平金屬纖維上的懸垂液滴形狀，并提出一種方法來描述液滴形狀，包括液滴固-液相界面和氣-液相界面，如圖1 所示。本文首先通過觀測試驗明確纖維液滴的形狀；然后基于觀測結果擬合得到液滴形狀參數的關聯式；接著開發了包括固-液相界面和氣-液相界面子模型的纖維液滴形狀模型；最后通過比較模型預測和試驗觀測的液滴輪廓，驗證了模型精度。

圖1 水平纖維上懸垂液滴Fig.1 Droplet on metal fiber

1 纖維液滴形狀觀測試驗系統

本試驗的目的是明確重力場中金屬纖維上的液滴形狀。試驗將從不同視角觀測液滴輪廓的形狀，并定量測量液滴形狀的幾何參數。

1.1 試驗裝置

為了觀測水平纖維上液滴的形狀，本文搭建了如圖2 所示的可視化觀測臺用于獲得纖維液滴形狀的輪廓。試驗裝置由液體樣品注射系統（組件1～2）、纖維固定系統（組件10～15）、移動控制系統（組件4～5）和實時攝像系統（組件6～9）四部分組成。

圖2 試驗裝置Fig.2 Schematic diagram of experimental apparatus

在試驗過程中，先在纖維上滴注一定體積的液體樣品，并形成穩定的懸垂液滴。通過旋轉和移動液滴位置，在CCD 攝像機中得到液滴正面和側面兩種觀測視角下清晰的液滴輪廓。通過實時攝像系統獲得纖維液滴輪廓的照片，圖像處理照片后可以獲得液滴形狀參數的數據。

液滴尺寸通過像素分析法得到：測量圖像中像素點距離，根據CCD 攝像機的圖像放大率(0.005 mm/pixel)進行轉換，得到液滴參數的實際尺寸，尺寸測量的絕對誤差為±0.005 mm，測量范圍0.145～2.500 mm，因此測量液滴尺寸的相對誤差為0.2%～3.4%；液滴的接觸角通過CAST 3.0 軟件的樣條曲線擬合得到：首先得到圖像中液滴接觸點處輪廓點的分布，通過曲線擬合液滴接觸點附近的輪廓并得到接觸角，測量接觸角的絕對誤差為±1.2°，測量范圍63.8°～93.5°，因此測量液滴接觸角的相對誤差為1.3%～1.9%。

1.2 工況條件

圖3 液滴觀測試驗結果(d=1 mm)Fig.3 Observation result of the droplet shape on fiber(d=1 mm)

本試驗的金屬纖維樣件選用了空調除濕換熱器中常用的紫銅材料，其表觀接觸角θA為85°，該數據通過測量2 μl 去離子水在銅板上的接觸角得到。試驗中液體樣品選用了蒸餾水。試驗采用的工況包括直徑為0.66、0.80、1.00 和1.20 mm 的四種金屬纖維；試驗中液滴體積范圍4～20 μl，單次增量為1 μl。

1.3 觀測結果

圖3顯示的是水平纖維上的液滴觀測結果。隨著水平纖維上垂懸液滴體積從4 μl到20 μl，重力拉伸作用增強，整個纖維液滴可近似為類似橢球體的形狀。從主視圖和側視圖觀測到的液滴輪廓近似于橢圓形。

因此，可采用橢圓方程來描述液滴的形狀，這就需要先確定影響液滴形狀的參數，如圖4 所示。液滴的形狀由固-液界面和氣-液界面構成，其中氣-液界面的形狀由液滴的直徑D、高度H 和接觸角θ 決定；固-液界面形狀由接觸線寬度W 和接觸線高度h決定。

圖4 液滴形狀參數示意圖Fig.4 Schematic diagram of droplet geometry parameters

2 液滴形狀參數擬合

為了開發液滴形狀模型，需要研究形狀參數的關聯式。這些形狀參數受表面張力和重力的共同影響，耦合作用可以通過無量綱Bond 數[19]進行定量評估，因此需要擬合關于Bond 數的形狀參數關聯式。Bond數的定義為：

2.1 液滴直徑的擬合

液滴無量綱直徑定義為β（β=D/H），試驗結果如圖5 所示。隨著Bond 數的增加，液滴無量綱直徑減小幅度變小。這是由于隨著液滴體積基數變大，單次增量對液滴高度的影響變小。根據試驗數據擬合關聯式，如式(2)、式(3)所示：

2.2 液滴接觸角的擬合

液滴無量綱接觸角定義為Θ（Θ=θ/θA），試驗結果如圖6 所示。液滴正面接觸角隨著Bo 增加先增后減。正面接觸角前期增大是由于液滴體積的增加使液滴沿豎直方向拉伸；隨著液滴體積繼續增大，形成頸部收縮，導致接觸角逐漸減小[28]。而液滴側面接觸角隨著Bo增加不斷減小；這是由于在垂直方向上投影的表面張力分量不斷增加，以平衡不斷增加的重力。根據試驗數據擬合無量綱接觸角的關聯式，如式(4)、式（5）所示：

2.3 接觸線寬度的擬合

液滴無量綱接觸線寬度定義為Ω（Ω=W/H），試驗結果如圖7 所示。當Bond 數較小，表面張力起主導作用，液滴沿纖維軸向延伸；隨著Bond 數增大，重力作用起主導作用，液滴沿豎直方向往下拉伸，因此接觸線寬度變化較小。擬合關聯式如式(6)所示：

2.4 接觸線高度的擬合

圖5 隨Bond數變化的無量綱直徑Fig.5 Dimensionless diameter with Bond number

液滴無量綱接觸線高度定義為Ψ（Ψ=h/d），試驗結果如圖8 所示。隨著Bond 數的增加，Ψ 先急劇增加，在Bo=1時達到最大值后基本不變。這是由于在液滴體積較大時，在重力主導下液滴只存在向下延伸的趨勢，不會再沿著纖維表面向上移動。根據數據擬合的關聯式如式(7)所示：

3 纖維液滴形狀模型

金屬纖維上的液滴被固-液界面和氣-液界面包圍。為了預測液滴的形狀，需要開發用于描述固-液界面和氣-液界面的子模型。

3.1 液滴固-液界面子模型

圖6 隨Bond數變化的無量綱接觸角Fig.6 Dimensionless contact angle with Bond number

圖7 隨Bond數變化的無量綱接觸線寬度Fig.7 Dimensionless contact line with Bond number

圖8 隨Bond數變化的無量綱接觸線高度Fig.8 Dimensionless wetting height with Bond number

固-液界面是液滴在金屬纖維上的潤濕區域，其邊界是三相接觸線[29]。根據觀測試驗的結果，三相接觸線在主視圖和側視圖上的投影可看作為一段圓弧；在俯視圖的投影是一個橢圓，如圖9 所示。三相接觸線上的點坐標(rt,φ,zt,φ)在主視圖和側視圖的投影滿足式(8)：

求解方程組式(8)，得(rt,φ,zt,φ)的解析式：

式中，A= kφ2Rf+(Rm- h)，kφ= tanφ。

式(9)、式（10）給出了三相接觸線上的點坐標(rt,φ,zt,φ)關于方位角φ 的顯示函數。其中需要的參數有：接觸線寬度W 和接觸線高度h。這些參數通過擬合關聯式(6)和式(7)得到。

圖9 三相接觸線示意圖Fig.9 Schematic diagram of triple contact line

圖10 不同方位角下纖維液滴輪廓曲面Fig.10 Droplet profiles at different azimuthal angles

3.2 液滴氣-液界面子模型

氣-液界面指液滴和空氣接觸的曲面輪廓[29]。在研究這一模型時，需要以液滴最大直徑所在平面為界，將液滴分為上下部分，如圖10所示：液滴下半部分輪廓是水平方向軸與液滴最大直徑重合的一個橢圓（El,φ）；上半部分纖維左右兩段輪廓，分別是偏心橢圓的一部分（Eu,φ）。

(1)液滴下半部分輪廓 對于任意方位角φ，液滴下半部分輪廓是橢圓輪廓的一部分。特別地，當φ = 0°時，液滴下半部分輪廓為一個半圓Cl,0[圖10（a）]，其表達式為：

當方位角φ 為任意角度時，由于液滴高度H 不變，液滴下半部分橢圓的垂直軸不變，橢圓垂直方向半軸長滿足bl,φ=bl,0，且橢圓圓心的坐標滿足zl,φ=zl,0。橢圓水平軸al,φ的表達式根據圓柱表面液滴的變徑球帽模型[26]得到。任意方位角下橢圓El,φ滿足方程：

方程組式(12)給出了描述液滴下半部分輪廓的函數解析式。

（2）液滴上半部分輪廓 橢球形液滴的上半部分的輪廓是偏心橢圓Eu,φ的一部分。以φ = 0°為例[圖10（a）]，根據該橢圓輪廓與液滴下半部分輪廓的交點，橢圓在纖維上的接觸點，以及接觸點上的接觸角和潤濕角關系，該橢圓滿足如下方程組：

式中，浸沒角α滿足α = arccos(1- h/R)。

求解方程組式(13)，可得：

當φ 為任意角度時，與φ=0°時相似，液滴上半部分輪廓滿足如下條件：

需要注意的是，偏心橢圓的豎直方向軸不隨方位角變化，即bu,φ=bu,0。求解方程組可得式(15)中四個變量的表達式為：

因此液滴氣-液相界面的輪廓可以通過方程組式(12)和式(16)描述。其取決于液滴的高度H，主視圖上液滴直徑Dm，側視圖上液滴直徑Ds，以及液滴側面接觸角θs。液滴的這些參數可以通過擬合的觀測試驗結果關聯式(2)～式(5)來計算。

4 模型驗證

圖11(a)展示了體積為17 μl 時，模型預測的液滴正視圖和側視圖輪廓與試驗觀測的液滴輪廓的比較結果。可以看出，預測的液滴輪廓與試驗結果能夠較好地吻合。圖11(b)展示了100組模型預測和試驗數據關于液滴輪廓重合度的決定系數r2分布[30]。

圖11 試驗觀測輪廓和模型預測的液滴輪廓比較Fig.11 Comparison of droplet profile between image processing results and predicted results

驗證結果顯示，研究建立的輪廓預測模型可以在±10%的誤差范圍內描述98%的輪廓線，平均偏差為4.6%。

5 結 論

（1）通過觀測試驗發現了水平金屬纖維上懸垂液滴輪廓呈橢圓狀；

（2）測定了描述液滴固-液相界面和氣-液相界面的關鍵結構參數，包括液滴直徑、接觸角、接觸線寬度和接觸線高度，并擬合了這些參數關于Bond數的關聯式;

（3）基于觀測試驗結果，建立了重力場中纖維液滴在固-液相界面和氣-液相界面的描述方程，并開發了纖維液滴形狀模型;

（4）模型的預測結果和觀測試驗得到的液滴輪廓吻合度較好，可以在±10%的誤差范圍內描述98%的試驗結果，平均偏差為4.6%。

符 號 說 明

a——橢圓水平方向半軸長，mm

Bo——Bond數

b——橢圓豎直方向半軸長，mm

C——圓形輪廓

D——液滴最大直徑，mm

d——纖維直徑，mm

E——橢圓輪廓

g——重力加速度，m·s-2

H——液滴高度，mm

h——接觸線高度，mm

k——斜率

n——個數

R——纖維半徑，mm

r2——決定系數

V——液滴體積，μl

W——接觸線寬度，mm

α——浸沒角，(°)

β——無量綱直徑

Θ——無量綱接觸角

θ——接觸角，(°)

ρ——密度，kg·m-3

σ——表面張力系數，N·m-1

φ——方位角，(°)

Ψ——無量綱接觸線高度

Ω——無量綱接觸線寬度

下角標

A——表觀角

b——最低點

f——纖維

l——下半部分

m——正視圖

s——側視圖

t——三相接觸線

u——上半部分