巧用圓的性質 妙解解幾問題

江蘇省木瀆高級中學 (320500) 解金雷

圓有許多幾何性質，在解析幾何問題求解中，常妙用圓的定義或性質，直徑所對的圓周角為直角，圓冪定理，垂徑定理，相交弦定理，切線長定理或切割線定理等實現解題的目的．本文列舉幾例予以說明.

點評：解法中巧妙利用圓的切線性質及中點性質，并通過圓的定義確定對應圓方程，再利用二次方程的聯立進而快捷確定相關點的坐標．

例2 已知圓x2+y2-6x=0，則過點(1，2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為( ).

A．1 B．2 C．3 D．4

點評：本題為求解與圓的弦長有關的問題，而且是涉及與之相關的最值問題，求解的關鍵是利用圓的垂徑定理達到將問題巧妙轉化的目標．

例3 若直線y=kx+b(k>0)與圓x2+y2=1和圓(x-4)2+y2=1均相切，則k=，b=．

圖1

點評：本題巧用圖形的幾何性質，由“形”轉“數”，綜合推理與運算達到求解目標．

例4 已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( ).

A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0

圖2

點評：本題綜合利用圓的定義及幾何性質，結合圖形直觀，化“動”為“靜”，利用代數運算達到解決問題的目的．

綜上可見，在解決一些與圓有關的解析幾何問題時，巧用圓的平幾性質，實現解幾問題的直觀化，達到多一些幾何直觀，少一些代數運算，“形”與“數”有機結合，從而有效發現解題思路，縮小思維步驟，優化解題過程，真正實現提升數學能力，培養核心素養的目標．