逢山開(kāi)路 遇水搭橋
——妙用三角參數(shù)解題

江蘇省豐縣民族中學(xué) (221700) 高成功

“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，對(duì)于數(shù)學(xué)題有時(shí)解法和思路會(huì)很豐富.解題時(shí)要做到“逢山開(kāi)路，遇水搭橋”,完善解題過(guò)程,讓解題變成一種追求和境界.引入?yún)?shù)通過(guò)換元完成解題的方法很多，因三角函數(shù)公式多、變換活、思路廣以及正、余弦函數(shù)的有界性，為問(wèn)題的解決帶來(lái)極大便利. 三角換元法也稱(chēng)為三角代換、參數(shù)換元法.本文談?wù)勄擅钜肴菂?shù)進(jìn)行換元在求解問(wèn)題中的應(yīng)用,以期對(duì)提高學(xué)生的解題能力有所裨益.

分析：(1)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，討論直線(xiàn)斜率是否存在從而引入?yún)⒘窟M(jìn)行解題是一種常規(guī)思路；(2)結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)利用點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓，從幾何的角度也可以解決該題;(3)由于圓、直線(xiàn)等具有一種三角參數(shù)方程式，有時(shí)選用便于突破重圍，起到出奇制勝的良好效果.

評(píng)注：通過(guò)引入?yún)?shù)換元實(shí)現(xiàn)了代數(shù)和三角的轉(zhuǎn)化，使思維處于“山窮水盡”之時(shí)，能神奇地開(kāi)拓“柳暗花明”的局面.

分析：這是一個(gè)三元未知量求最值問(wèn)題,消元法此時(shí)也不易于問(wèn)題的解決.根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)考慮引入?yún)?shù)使用三角換元法.

評(píng)注：三元最值問(wèn)題，觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系.引入變量代替某個(gè)可以看成一個(gè)整體的復(fù)雜式子,進(jìn)而使問(wèn)題簡(jiǎn)化.引入三角參數(shù)是中學(xué)解題中常見(jiàn)的換元技巧,它主要利用已知代數(shù)式與三角知識(shí)的聯(lián)系進(jìn)行換元.通過(guò)聯(lián)想類(lèi)比,將代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式,再利用三角函數(shù)的性質(zhì),巧妙地實(shí)現(xiàn)解題.