破解數(shù)列問(wèn)題中不定方程整數(shù)解的常用策略

江蘇省昆山市教師發(fā)展中心 (215300) 戈 峰江蘇省昆山市柏廬高級(jí)中學(xué) (215300) 何曉勤

在數(shù)列綜合問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到不定方程的整數(shù)解問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題往往會(huì)涉及函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)論等知識(shí)，精彩紛呈，解法靈活多樣.因此，探討求解此類(lèi)問(wèn)題的常用策略很有必要.所謂不定方程的整數(shù)解問(wèn)題是指方程的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，且未知數(shù)的解為整數(shù)的問(wèn)題.筆者下面通過(guò)舉例，談?wù)勄蠼鈹?shù)列存在性問(wèn)題中不定方程整數(shù)解的常用策略，供大家參考.

1.整除分析法

利用數(shù)列項(xiàng)數(shù)為正整數(shù)這一特性，可將不定方程中的某個(gè)變?cè)闷渌冊(cè)鷶?shù)表示，并分離常數(shù)(整數(shù))，再利用整除的性質(zhì)分析方程的整數(shù)解.

例1 設(shè)數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=2，anbn+bn=(n+1)bn+1.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

解析：(1)在anbn+bn=(n+1)bn+1中，令n=1，得a1=3，所以an=3+2(n-1)=2n+1.將an=2n+1代入anbn+bn=(n+1)bn+1，得bn+1=2bn，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即bn=2n-1.

2.奇偶分析法

對(duì)于某些不定方程，可從不定方程等式兩邊的符號(hào)和奇偶性角度分析，尋求矛盾來(lái)否定存在性，或構(gòu)造等量關(guān)系來(lái)肯定存在性.

例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=2an-1(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)(n∈N*)，且b1=1.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在正整數(shù)m,n，使b1,am,bn(n>1)成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的m,n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)假設(shè)存在正整數(shù)m,n(n>1)，使b1,am,bn成等差數(shù)列，則b1+bn=2am，即1+n2=2m.若n為偶數(shù)，則1+n2為奇數(shù)，而2m為偶數(shù)，上式不成立.若n為奇數(shù)，設(shè)n=2k-1(k∈N*)，則1+n2=1+(2k-1)2=4k2-4k+2=2m，于是2k2-2k+1=2m-1，即2(k2-k)+1=2m-1.當(dāng)m=1時(shí)，k=1，此時(shí)n=2k-1=1與n>1矛盾；當(dāng)m≥2時(shí)，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，顯然不成立.

綜上所述，滿足條件的正整數(shù)m,n不存在.……