一道三診試題的多解及推廣

四川師范大學數學科學學院 (610068) 紀定春 夏逸天 周思波

不等式是高考數學的重點考察內容．從作差法、判別式法、三元均值不等式法、基本不等式法、柯西不等式法、排序不等式法、幾何法、向量法、權方和不等式法、詹森不等式法、球坐標變換法、拉格朗日乘數法等角度，對四川省瀘州市三診的一道不等式試題進行了解法探究，并將該不等式進行了推廣．

1.問題與評注

(瀘州市高2017級第三次教學質量診斷性考試)已知f(x)=|2x-4|+|x+1|．

2.解法探究

視角1 作差法

視角2 判別式法

視角3 三元均值不等式法

視角4 基本不等式法

視角5 柯西不等式法

視角6 排序不等式法

所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥

視角7 幾何法

視角8 向量法

視角9 權方和不等式法

視角10 詹森不等式法

視角11 球坐標變換法

視角12 拉格朗日乘數法

3.問題推廣

推廣3 設a，b，c∈R，且a+b+c=s，其中n∈Z+，x，y，z為任意的常數，求(a+x)n+(b+y)n+(c+z)n的最小值．

提示：推廣2和推廣3，解決方法同推廣1．

提示：推廣5和推廣6，解決方法同推廣4．

提示：該推廣，將項(-1)i引入了第i個項中，求解過程更加復雜．在求解時，需要注意進行分類討論，此處可以分成四類，然后分別進行討論，最終求解結果為三大類．

解決過程可參照推廣7，注意使用換元法，具體從略．最后，由于推廣8、推廣9較難，建議不將兩個推廣納入高中數學課堂，但可以作為課后自主思考題．上述的推廣1-7，可以根據所教學生的實際情況，有選擇的納入課堂．