對(duì)一組優(yōu)美幾何不等式的推廣

浙江大學(xué)附屬中學(xué)丁蘭校區(qū) (310021) 陳作國(guó) 施剛良

在△ABC中，設(shè)△ABC的面積為S，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，則有下列不等式鏈：

筆者仔細(xì)研究了文[1]的證明過(guò)程，發(fā)現(xiàn)可以改進(jìn)方法，將結(jié)論推廣如下：

當(dāng)n=2時(shí)，即不等式②.同時(shí)，還對(duì)①進(jìn)行了推廣可得：

當(dāng)n=2時(shí)，即得到不等式鏈①.

要證明定理1和定理2，先引進(jìn)如下引理：

引理1 在△ABC中，恒有

引理2 在△ABC中，恒有

引理2的證明：與引理1的證明類似，在此不再敘述.

結(jié)束語(yǔ)

初等數(shù)學(xué)中的不等式問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)教師研究的熱門問(wèn)題，一般比較容易上手，但要深入進(jìn)去往往又非常困難，這真是不等式問(wèn)題的魅力所在.再之，本文對(duì)文[1]結(jié)論作了推廣，在論證一般性結(jié)論時(shí)，發(fā)現(xiàn)初等的方法已不夠，于是借用函數(shù)的凹凸性，發(fā)現(xiàn)證明變得相對(duì)容易，體現(xiàn)研究初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的高觀點(diǎn).本文推廣的結(jié)論只對(duì)0≤n≤2成立；當(dāng)n>2時(shí)，筆者試著利用函數(shù)的凹凸性沒(méi)法解決，也就是說(shuō)高觀點(diǎn)也是有局限性的，可能利用初等的方法反而能解決.這也體現(xiàn)出不等式問(wèn)題的靈活性和技巧性，體現(xiàn)不等式的魅力.當(dāng)n>2時(shí)，結(jié)論是否還成立，留給有興趣的讀者.