2020年上海春考反函數壓軸題引發的思考

華東師范大學數學科學學院 (200241) 李 洋 武漢大學數學與統計學院 (430072) 周照杰

反函數是上海高中教材中比較重要的一個知識點，也經常出現在上海高考的壓軸題位置．本文對2020年上海春考數學試題第12題進行展開，分析y=f(x)與其反函數y=f-1(x)的圖象交點個數與交點位置問題，并在此基礎上討論高中階段比較重要的兩類函數指數函數y=ax(a>0且a≠1)與其反函數對數函數y=logax的圖象交點問題．

1 試題呈現

評析：縱觀近幾年上海高考數學試題，小題的壓軸題經常涉及對學生分析與轉化問題能力的考查．第12題和第16題一般以動靜結合的題目為多，常考查基本圖形的平移、旋轉、翻折等基本運動形式，這就需要學生把握好運動過程中的臨界情況(即靜止狀態)．本題作為壓軸題呈現，考察原函數與反函數所組成方程的解的問題，要是直接代數求解，無疑增加了問題的運算且難以處理．這就需要我們熟悉原函數與反函數的一些基本性質．

2 基本性質

引理1y=f(x)與其反函數y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱．

引理2 若y=f(x+a)存在反函數，則其反函數為y=f-1(x)-a(有興趣的讀者可以查閱2009年上海高考數學試題(理科)第22題)．

性質1 若y=f(x)在其定義域上為連續函數，則y=f(x)與其反函數y=f-1(x)的圖象存在交點的充要條件是y=f(x)的圖象與直線y=x有交點．

證明：(充分性)充分性是顯然的，下面我們證明必要性．

(必要性)設點P(a,b)是y=f(x)與y=f-1(x)的圖象的交點．①若a=b，則命題顯然成立．②若a≠b，則由點P(a,b)在y=f-1(x)的圖象上知點P′(b,a)在y=f(x)的圖象上，所以f(a)=b、f(b)=a．令g(x)=f(x)-x，則為連續函數，不妨設a0，g(b)=f(b)-b=a-b<0．由零點定理得?ε∈(a,b)，使得g(ε)=0，即f(ε)=ε，命題成立．

性質2 若y=f(x)為單調遞……