一道指對混合型不等式高考題的解法探究*

新疆烏魯木齊市實驗學校 (830026) 符強如新疆烏魯木齊市第97中學 (830022) 雷高龍

縱觀近幾年的高考導數(shù)壓軸題，其中一類指數(shù)、對數(shù)混合型求參數(shù)的取值范圍綜合問題處理起來比較棘手，也具有較強的區(qū)分度.下面就以一道高考導數(shù)真題來具體闡述筆者的思考.

1 問題呈現(xiàn)及背景

題目已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)略；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

背景:這道題是2020年新高考全國卷理數(shù)21題，從問題表述來看，傳承了全國卷高考命題樸實、簡約、穩(wěn)健的風格.從函數(shù)的角度考察指數(shù)、對數(shù)混合型問題.而現(xiàn)階段以指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)為載體的導數(shù)與含參恒成立求解參數(shù)范圍問題，在高考壓軸題中頻繁出現(xiàn)，它不僅考查了考生的邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，并對要求考生具備較高的思維能力，不愧起到了壓軸的功能.

2 多個視角探究

視角1：直接構造

證明函數(shù)不等式恒成立的首選方法就是直接構造，也是師生在解題過程中最常用的方法.由于恒成立的不等式中同時含有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，所求構造函數(shù)的最值往往涉及到導函數(shù)零點問題存在卻不易求解情況，一般可選擇設而不求，整體代換化簡的思路，即隱零點問題處理策略，有時還會涉及到放縮.

視角2：放縮

改頭換面進行合情合理放縮.在使用放縮法時要注意把握放大或縮小的度.常見的指對函數(shù)放縮來源于人教A版數(shù)學選修2-2第32頁B組第一題,即ex≥x+1,x-1≥lnx.此題可將ex,lnx同時改頭換面放縮成直線，就可比較快速解決.

設g(x)=ex-x+1,g′(x)=ex-1,易得g(x)在(-∞，0)上單調減，在(0,+∞)上單調增,故g(x)mix=g(0)=0，∴ex≥x+1，由兩邊同時取對數(shù)可得x≥ln(x+1)，易得x-1≥lnx.由ex≥x+1可得aex-1=elna+x-1≥lna+x-1+1,由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.故f(x)≥lna+x-1+1+1-x+lna，(當x=1時取等號).∵f(x)≥1，∴2lna+1≥1，∴a≥1.

也可以從這個角度去放縮由ex≥x+1可得aex-1≥ax，由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.∵f(x)=aex-1-lnx+lna≥1，∴ax-x+1+lna≥1，∴(a-1)x≥-lna恒成立.當0

視角3：指對分離分而治之

指對分離分而治之是將對數(shù)式和指數(shù)式分離成兩個獨立的函數(shù)，分別求最值即可，為方便計算，我們一般分離構造的兩個獨立函數(shù)的“凹凸性”是相反的，利用公切線作為兩曲線的分界線，就將復雜的指對混合型不等式轉化為兩個簡單的不等式.值得一提的是有時分離的兩個函數(shù)不存在最值時還需要適當變形.

視角4：指對互化換元構造

有些指對混合型的不等式中不僅存在x+lnx還存在xex，此時可以利用指對恒等式x=elnx將x+lnx=ln(xex),xex=ex+lnx轉換為只含有xex或x+lnx問題，再進行構造函數(shù)快速解決.由題f(x)≥1可得aex-1-lnx+lna≥1恒成立,∴elnaex-1+lna+x-1≥lnx+x.∴elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx成立.故可構造h(x)=x+ex，h′(x)=ex+1>0，∴h(x)在x∈R上單調增.易得h(lna+x-1)≥h(lnx)，∴l(xiāng)na≥lnx-x+1，由x-1≥lnx易得lna≥0,∴a≥1.

也可如下構造：由題可得aex-1-lnx+lna≥1，∴elna+x-1-(lna+x-1)-1+(x-lnx-1)≥-2lna可構造函數(shù)，易得h(x)=ex-x-1，易得h(x)min=0，故可得-2lna≤0，∴a≥1.

評注：不同的表征形式其求解著眼點就有不同，其求解思路切入各有其特征、使用的范圍和求解步驟.因其求解的思路與著眼點相同，所以表現(xiàn)出得解題過程難易程度就有深有淺.角度1：對隱零點的范圍判斷是一個難點，本文從極限角度出發(fā)判斷零點的存在；角度2：改頭換面進行放縮，雖然有時很簡捷但卻具有一定的局限性；角度3：需要敏銳的眼光，才能找到凹凸性不同的兩個函數(shù)，選擇分離指對函數(shù)分而治之去解決；角度4：通過指對恒等式變形后能較好找到構造的函數(shù)再根據單調性去解決.

3 解題反思

平時我們的解題教學，利用所有有用的條件，進行觀察、聯(lián)想、對比，采取“一題多解”的形式，不僅能使同學們的思維定勢得到改觀，還可以使所學的知識得到到靈活運用，進而開拓思路，這對培養(yǎng)學生思維的廣闊性、探索性、深刻性、獨創(chuàng)性、靈活性等無疑是一條非常有效的捷徑.作為教師也有必要為學生的知識延伸和深度做指導，唯有如此，我們的復習才能真正優(yōu)質高效，學生認知結構才能更加穩(wěn)定，數(shù)學核心素養(yǎng)的培育才能深入落實.