直觀想象在函數試題中的考查探析

福建省漳州第一中學 (363000) 林志展 莊清壽

函數作為高中數學課程的四大主線之一，是高考考查的重點.高考對函數內容的考查，一方面是作為重要的基礎知識，考查學生對今后所必需的重要基礎和工具的掌握程度，同時更重要的是考查學生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，以區(qū)分和選拔學生.利用函數知識可以深入考查數學抽象、數學運算，直觀想象和邏輯推理等數學核心素養(yǎng).

“直觀想象”在函數試題中的考查主要途徑是考生能否根據函數表達式畫出函數的圖象，進而根據圖象直觀推斷函數的性質，或通過函數圖象啟發(fā)思路、驗證結論．

1 運用“直觀想象”推斷函數的性質

高考函數試題中，往往是給出抽象的函數解析式，為了使得問題直觀，我們需要作出相應函數的圖象，從而推斷函數的性質.常用的作圖方法有三種：(1)直接法(函數解析式或通過變形后是基本初等函數)；(2)變換法(平移變換、伸縮變換、對稱變換等)；(3)描點法(研究函數的定義域、周期性、對稱性、單調性、凹凸性、漸近線，進而描出函數的端點、極值點、零點、凹凸點，連線)．

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

圖1

圖2

2 運用“直觀想象”啟發(fā)思路、驗證結論

由于圖象具有形象化、直觀等特點，可以幫助我們明確這道題的解題方向.圖象的直觀性是發(fā)現和提出問題、分析與解決問題的重要手段，是探索和形成思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎．

例3 (2019年全國I卷理第21題)已知函數f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導數．證明：

綜上，f(x)有且僅有2個零點．

函數的表示法常用的有解析式和圖象，這兩種表示法各自有優(yōu)缺點，其中一個的缺點又恰好是對方的優(yōu)點，所以經常兩者結合起來，也就是常說的數形結合，著名數學家華羅庚曾說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休．解題思路的產生更多的源于直覺，源于我們對這道題目的直觀判斷；預期這道題的最終結果，直覺意義往往可以超越邏輯步驟，捷足先登的直達目標，但具體到解答步驟，還是要回到數學的抽象表達，運用嚴密的數學推理．