對 “f (x)與f ( f (x) )有相同值域” 問題的思考

四川南充高級中學順慶校區 (637000) 張小丹 李 婷

一、試題呈現

設函數f(x)=x2+2ax+a，若函數f(x)與函數f[f(x)]的值域相同，則實數a的取值范圍為.

第一步：分析f(x)的單調性與最值，易知f(x)在(-∞,-a)上遞減，在(-a,+∞)上遞增，f(x)min=f(-a)=a-a2，∴f(x)的值域是[a-a2,+∞).

第二步：換元分析兩函數.設t=f(x)，則f[f(x)]=f(t)，函數f(t)在t∈(-∞,-a)上遞減，在t∈(-a,+∞)上遞增，則y=f(t)(t≥a-a2)的值域也是[a-a2,+∞).

圖1

第三步：問題求解.設y1=f(x),y2=f[f(x)]，則y2中的f(x)等同于y1在中的x，要y1,y2兩函數具有相同的值域，只需y2中的f(x)與可以取到y1中的x的所有的值，即函數f(x)的值域能取遍其定義域中的一切實數.從而由圖1可知a-a2≤-a， 解得a≤0或a≥2 .

事實上，我們可以把此題的情況進行推廣，得到如下結論：

二、歸納結論

結論1設函數f(x)在其定義域上先減后增，極小值點是x0，f(x)的值域為[f(x0),+∞)，若f(x)與f(f(x))有相同值域，只需f(x0)≤x0.

結論2設函數f(x)在其定義域上先增后減，極大值點是x0，f(x)的值域為(-∞,f(x0)]，若f(x)與f(f(x))有相同值域，只需f(x0)≥x0.

三、結論應用

例1設f(x)=lnx-x+a，若函數f(x)與f[f(x)]的值域相同，則實數a的取值范圍為.

四、完善結論

若f(x)在其定義域上單調，且f(x)與f[f(x)]有相同的值域，那么參數的范圍怎么求呢？

分析：設t=f(x)，y1=f(x),y2=f(t)，要使f(x)與f(t)的值域相同，只需t能取遍x能取到的數，即f(x)的值域能取遍其定義域中的一切實數.

結論3設函數f(x)的值域為R，若f(x)與f(f(x))有相同值域，則f(x)的值域能取遍其定義域中的一切實數，即f(x)的定義域為其值域的子集.

例4已知函數f(x)=ex+ae-x+2，若y=f(x)與y=f[f(x)]的定義域相同，則a的取值范圍是( ).

A.a<0 B.a≤-1

C.0