橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同
——一道模考題的講評歷程及變式探究

江蘇省常州市田家炳高級中學 (213000) 徐 穎

高考模擬題的設計力求情境熟悉，切入口多，方法靈活多樣，其中填空題的設計以短、平、活為主，能更好地體現學生對知識的掌握程度和應試能力，研究價值很高. 本文通過對2020年蘇錫常鎮高三數學一模卷14題答題情況的調研，分析學生思維受阻的原因，試圖尋找教學中存在的問題，進而提高教學的有效性.

1.試題

圖1

本題考察解三角形、平面向量的運算、最值問題.考查學生等價轉化、數形結合等數學思想方法和邏輯推理、直觀想象等數學素養，其背景常規，綜合性較強，區分度高，涉及的知識點也較多，對學生化歸能力要求較高.

2. 教學過程

2.1 橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同

(在點評前，老師要求學生先自行訂正，找出問題)

教師：那位同學愿意分享一下解題思路？

圖2

圖3

學生2舉手示意：關于點O的位置，我認為可以利用平面幾何知識，如圖3，取AE中點T,連接DT，由于E,T為AC的三等分點，故E為TC中點，由BE//DT可知O為CD中點.

教師：學生1采取建系，這是將代數問題幾何化的一種常見方式，非常棒！我很欣賞學生2的確定O點位置的兩種方法，利用幾何法抓住圖形的特征，太贊了，讓我們茅塞頓開，也學會了找線段定比分點的方法，他發現了這道題目的第一個本質，這要求我們有靈動的思維，多從圖形中發現動中有定.接下來，大家思考如何表示三角形面積？

(下面掌聲一片！)

教師：學生5，6的解法又讓我們眼前一亮，將問題與軌跡思想聯系，揭示了這道問題的第二個本質. 前面提到的三點共線定理和阿波羅尼斯圓其實都是課本上例題或練習題，看來在最后復習階段我們還要回歸課本，夯實基礎，掌握經典模型.

2.2 等閑識得東風面，萬紫千紅總是春

針對問題的不斷深入，在尋求解法的同時，領略考題的本質，挖掘其深刻內涵，作出一些必要的延伸和拓展，充分發揮試題的功能和作用.

圖4

圖5

點評：三角形中關注一些小結論，如上，利用角平分線定理能更快得到D點位置.

圖6

3.教學啟示

3.1 解題教學應注重學生的參與，構建動態教學

在高三復習過程中，時間緊，任務重，有的教師急功近利，追求大容量，往往只提解題思路，展示正確的解題方法，很少顧及學生的真實感受，學生自主探究的機會不多，缺少思維過程，只會死記套路. 告知學生，他們會忘記；板演給學生看，他們會記住；本題的一題多解，不是教師預設好硬塞給學生的，而是通過生生互助，師生互動，在一個動態過程中形成的產物，，讓學生參與其中，親經歷，真學習，體驗數學的發現與創造，獲得解題的成就感，提升數學素養.

3.2 解題教學應注重挖掘課本例習題的潛在教學功能

本題的兩個切入點就是三點共線定理和軌跡思想，在必修4向量章節和必修5直線與圓章節都有涉及(課本例題或習題)，我們知道課本例題、習題常常是高考命題的生長點，那么怎樣具體實施教學才叫活用教材？只有教師在平時的教學過程中，認真鉆研，精心設計課堂教學，做到以少勝多，舉一反三，幫助學生實踐從“一題多解”到“多題一解”的跨越，不在于解法的多樣性，而應該挖掘數學本質，形成通性通法，擴大解題的“武器庫”[1]，這樣才能有效培養學生的數學能力,實現真正減負.