素養(yǎng)導(dǎo)向下的習(xí)題課教學(xué)設(shè)計*
——以橢圓及其幾何性質(zhì)習(xí)題教學(xué)為例

廣東省東莞高級中學(xué) (523128) 劉心華

習(xí)題課是高中數(shù)學(xué)課的主要課型之一.新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)提出高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，其基本框架是以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心.習(xí)題是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的平臺，“看過問題三百個，不會解題也會問”.新課標(biāo)要求在教學(xué)活動中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

二、教學(xué)設(shè)計

橢圓是圓錐曲線部分所學(xué)的第一種曲線，橢圓及其幾何性質(zhì)研究的內(nèi)容、方式及方法，對進(jìn)一步研究雙曲線和拋物線及其幾何性質(zhì)，起到一個示范作用．

以下橢圓的習(xí)題課教學(xué)設(shè)計，從一道課本習(xí)題入手，探求問題解法并對其進(jìn)行變式引申，讓學(xué)生掌握一類焦點三角形問題的解答，幫助學(xué)生理解橢圓的幾何性質(zhì)及一般解題方法和規(guī)律，發(fā)展能力，感悟思想，積累經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

1、創(chuàng)設(shè)情景、引入新課

設(shè)計意圖：這是原人教版《數(shù)學(xué)》選修2-1習(xí)題2.2A組第6題，本節(jié)課把它作為典型探究性問題，是因為該題可把與橢圓焦點有關(guān)的性質(zhì)、面積問題的處理方法等知識聯(lián)系起來，問題處于知識的交匯點上，學(xué)生入手容易.

2、自主探究、合作學(xué)習(xí)

教師用幾何畫板展示本題的圖形，學(xué)生獨立思考嘗試解答問題，教師巡視，指導(dǎo)學(xué)生通過作圖、找關(guān)鍵詞理解題意，用數(shù)學(xué)語言、圖形語言、符號語言翻譯轉(zhuǎn)化問題的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生用多種方法解題，指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)小組內(nèi)進(jìn)行交流、討論．

設(shè)計意圖：多媒體展示本題的圖形，引導(dǎo)學(xué)生自主獲取資源，為學(xué)生解決問題提供直觀，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，增強(qiáng)學(xué)生作圖、識圖、用圖的意識，熟悉題目的條件與結(jié)論，正確理解題意，尋找解法，提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

3、成果展示、匯報交流

設(shè)計意圖：學(xué)生1的解法應(yīng)該也是大多數(shù)同學(xué)的解法，在解析幾何中，點通常用坐標(biāo)來表示，要求點的坐標(biāo)就要根據(jù)條件列出其坐標(biāo)滿足的兩個方程組成的方程組．點在橢圓上，其坐標(biāo)滿足橢圓方程是顯而易見的，關(guān)鍵是列出另一個方程．由于S△PF1F2=1，聯(lián)想三角形面積的計算公式，就可列出一個方程，從而求解，問題的解答體現(xiàn)了坐標(biāo)法和方程思想的運(yùn)用．

是否還有其他解法呢？有學(xué)生嘗試在焦點三角形中運(yùn)用正余弦定理及面積公式求解：

師生探討：學(xué)生2是在焦點三角形中，通過正余弦定理及面積公式求解，思路是可行的，做不下去的原因是沒有找到θ角與P點縱坐標(biāo)間的關(guān)系，下面一起來尋找問題解決方法：

設(shè)計意圖：學(xué)生2是在焦點三角形中運(yùn)用正余弦定理及面積公式求解問題，幾何法的特點明顯，問題解決對三角函數(shù)運(yùn)算能力要求較高，顯然這種解法比學(xué)生1方法要復(fù)雜，比較兩種解法可以感受到坐標(biāo)法的簡潔性.反思學(xué)生2解法之所以復(fù)雜，其中一個主要因素是∠F1PF2的大小對解題的影響，如果∠F1PF2是一個特殊角，比如∠F1PF2=90°，情況會怎么樣呢？于是設(shè)計如下的變式問題.

學(xué)生解答并展示學(xué)生的解答如下：

設(shè)計意圖：解決焦點三角形問題要明確以|F1F2|為直徑的圓與橢圓的位置關(guān)系，用幾何畫板展示，當(dāng)b、c大小關(guān)系變化時，驗證圓與橢圓的交點個數(shù)的變化情況．觀察當(dāng)點P在不同的橢圓弧上運(yùn)動時，∠F1PF2的大小變化情況，于是有下面的問題：

設(shè)計意圖：設(shè)計變式問題2是讓學(xué)生明確橢圓中的焦點三角形中有關(guān)角的問題常用處理方法，可以運(yùn)用平面向量數(shù)量積的方法，也可運(yùn)用正(余)弦定理的方法.橢圓上的點對兩焦點的張角以橢圓短軸端點最大，這一結(jié)論的推導(dǎo)需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4、高考鏈接、本質(zhì)變式

(1)(2018全國新課標(biāo)Ⅱ文)已知F1、F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為( ).

設(shè)計意圖：習(xí)題課要引發(fā)學(xué)生的體驗學(xué)習(xí)，教師要確定通過什么樣的內(nèi)容來提升發(fā)展學(xué)生，即提供恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)材料，習(xí)題課中引入高考真題能很好地縮短了教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的心理距離，更為具體，也更具操作性和活動性.

5、拓展延伸、遷移應(yīng)用

(1)(2019年高考全國Ⅰ卷理科10)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0)，過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

設(shè)計意圖：問題(1)比前面的變式問題要復(fù)雜，需在橢圓焦點三角形中轉(zhuǎn)化兩個等式，結(jié)合橢圓定義找到|AF1|=|AF2|的等量關(guān)系，由|AF2|=2|F2B|得到點B的坐標(biāo)，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.問題設(shè)計要考慮學(xué)生對解析幾何中通性通法的掌握程度，問題解決可以幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng).

設(shè)計意圖：問題(2)雖然不是焦點三角形問題，但問題解決的方法與思路完全可以借鑒前面的焦點三角形問題，所以有下面的方法一與方法二，這是習(xí)題課教學(xué)中的遷移應(yīng)用.把一個看似未知的問題轉(zhuǎn)化為幾個已經(jīng)具備的經(jīng)驗可以解決的問題，是數(shù)學(xué)常規(guī)解題策略，這個任務(wù)不可能一蹴而就，但可以水滴石穿，進(jìn)一步的挖掘，可以讓問題簡單化，應(yīng)用價值就更高，看似一小步，其實一大步.

學(xué)生14：(方法二)設(shè)焦點在x軸上，點M(x,y)，過點M作x軸的垂線交x軸于點N，則N(x,0)故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN)=

設(shè)計意圖：問題(3)的焦點三角形中涉及到角平分線的長度問題，在焦點三角形中運(yùn)用正(余)弦定理、角平分線定理、面積公式等入手，解決看似有一定困難，但若將問題中的長度全部轉(zhuǎn)化為角度，運(yùn)用三角函數(shù)的變換求解，問題很快得以解決.教師要基于教學(xué)目的去設(shè)計并引導(dǎo)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)活動與學(xué)習(xí)進(jìn)程，提供這樣的教學(xué)材料，能更好地促進(jìn)學(xué)生解題活動，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

設(shè)計意圖：習(xí)題課的問題設(shè)計，要引發(fā)學(xué)生的積極思考和數(shù)學(xué)活動，教師不要因?qū)W生學(xué)習(xí)困難就降低難度，教師的作用就是要幫助學(xué)生成為教學(xué)的主體，主動去挑戰(zhàn)困難、克服困難，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，從現(xiàn)有水平主動積極地走向未來水平.

6、歸納總結(jié)、分層作業(yè)

(5)結(jié)合本節(jié)課的探究性問題，請自編一道“改變條件或改變結(jié)論”(特殊化、一般化)的變式問題．

設(shè)計意圖：作業(yè)是習(xí)題課的自然延伸，教師在布置作業(yè)時要尊重學(xué)生的差異，找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，優(yōu)化設(shè)計階梯式分層作業(yè)，讓不同層次學(xué)生選擇，達(dá)到相應(yīng)單元的學(xué)業(yè)要求，同時更深層次地喚醒學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，實現(xiàn)不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

三、教學(xué)反思

本節(jié)習(xí)題課設(shè)計了環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，充分體現(xiàn)了以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)理念.從一道課本習(xí)題引入新課，引導(dǎo)學(xué)生自主探究合作學(xué)習(xí),鼓勵學(xué)生充分發(fā)表自己的感受和見解，讓學(xué)生在問題解決的過程中充分參與課堂活動.變式問題1比課本習(xí)題入手更容易，學(xué)生可以從更多的角度切入解題，讓不同水平的學(xué)生思維都動起來.變式問題2的設(shè)計讓學(xué)生在解決問題的過程中，通過學(xué)生自己的思維活動進(jìn)一步將符號化的知識打開，將靜態(tài)的知識激活，全身心地體驗問題豐富的內(nèi)涵與意義.高考鏈接本質(zhì)變式題組的設(shè)計是讓學(xué)生再次經(jīng)歷問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，讓學(xué)生與自己正在學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間建立一種緊密的聯(lián)系，通過解題活動去把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，發(fā)展著學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 拓展延伸遷移應(yīng)用題組的設(shè)計抓住了知識生長點，又扣住了問題的本質(zhì)，有濃濃的數(shù)學(xué)問味.在習(xí)題課教學(xué)活動中，遷移應(yīng)用是對本質(zhì)變式的印證與檢驗，有聯(lián)想才能有遷移，有結(jié)構(gòu)才能去應(yīng)用.歸納總結(jié)分層作業(yè)設(shè)計了必做題與選做題，必做題由易到難、結(jié)構(gòu)由簡單到復(fù)雜、要求由低到高，學(xué)生人人都有會做的題，個個都有信心去嘗試，給不同層次的學(xué)生創(chuàng)造了成功的機(jī)會.