介質存在時利用鏡像法求解電勢的討論

付春娥

(西安交通大學 物理學院 應用物理系，陜西 西安 710049)

若假設在下半空間是充滿介電常數為ε的介質，上半空間在(0,0,a)處有一點電荷q，那么在點電荷q產生的電場的作用下，介質將發生極化，在介質的交界面處會出現極化電荷，進而極化電荷產生附加電場，與點電荷q產生的場疊加在一起形成總場.對于此電場的求解，一般采用鏡像法[1-5]先求解相應的電勢，再得到電場.而鏡像法的關鍵在于，在求解的區域外引入適當的鏡像電荷，使鏡像電荷與點電荷q形成的場滿足邊值關系.本文將要討論的是，在這種情況下，可以引入不同的鏡像電荷，而得到同樣的電勢.

1 在(0,0,a)和(0,0,-a)處引入鏡像電荷q′

考慮極化電荷在上半空間的電場，可在下半空間的引入的鏡像電荷q′(假設在(0,0,-a)處)，如圖1中(a)所示.同時，考慮極化電荷在下半空間的電場，可在上半空間引入的鏡像電荷q′(假設在(0,0,a)處)，如圖1中(b)圖所示.假定這兩個鏡像電荷的電量相同，進而考慮邊值關系來確定它們的帶電量.

圖1 鏡像電荷的選擇1

建立直角坐標系，引入上述鏡像電荷后，在上半空間某一點P1(x1,y1,z1)處的總電勢可以表示為

(1)

而在下半空間任意一點P2(x2,y2,z2)的電勢為

(2)

(3)

所以疊加得上半空間任意一點(x1,y1,z1)及下半空間中任意一點(x2,y2,z2)的電勢為

(4)

(5)

注意：在求下半空間的電勢時，此處用了真空中的介電常數，而不是介質中的介電常數.而由表達式(2)可以進一步理解為，在下半空間的場是由在(0,0,a)處的總電量為

(6)

其鏡像電荷在真空中產生的電場為式(5).因此也可以將這種鏡像電荷稱為真空中的鏡像電荷，它所代替的是自由電荷與界面上的束縛電荷在下半空間的作用.

2 在(0,0,a)和(0,0,-a)處引入鏡像電荷q′及q″

下面給出另一種鏡像電荷的引入方法，可以得到與式(4)、(5)相同的場分布.

首先，如果仍假設在上半空間的電場由自由電荷及下半空空間(0,0,-a)處引入的鏡像電荷q′產生的場疊加而成，如圖1中(a)圖所示.那么在上半空間某一點P1(x1,y1,z1)處的總電勢可以表示為

(7)

那么下半空間任意一點P2(x2,y2,z2)的電勢為

(8)

由邊值關系最后可得

(9)

而此時空間中的電勢與用第一種方法求得的完全一致.

圖2 鏡像電荷的選擇2

由此可見，在介質存在時，鏡像電荷的選擇并不唯一，不同的鏡像電荷都可以得到相同的場.從數學上講，這并不難理解，因為在介質存在時，決定鏡像電荷的電量的(位置一般由對稱性決定了)由兩個方程，兩個未知數，而不同的方程有不同的解，所以鏡像電荷的電量可以不同.而最后的結果與唯一性定理并不矛盾.因為鏡像電荷是在保證此空間中的源與邊值關系都沒有被改變的前提下引入的，那么該空間中的場肯定是唯一的.

不過如果再由電場進一步求出界面的束縛電荷，又會發現，第一種鏡像電荷的選擇其總電量與整個界面上的總電量相同，但第二種鏡像電荷卻與之不同.

3 介質交界面上的極化電荷

既然求出了總的電磁場，可根據邊值關系求出面上的極化電荷面密度

(10)

對整個無限大平面積分，換到球坐標系

(11)

由此可見，第一種鏡像電荷的選擇，其總電量與束縛電荷的總電量相同.

但是在上半空間不是真空，而是另外一種介質時，雖然同樣可以找到不同的鏡像電荷，并得到最終的場(仍然是唯一的).可是這時，由總場算出的束縛電荷的總電荷量并不與任何的一種鏡像電荷的電量相同[2].