亥姆霍茲線圈磁場均勻范圍的研究

莫云飛，周群益，侯兆陽，周麗麗

(1. 長沙學院 電子信息與電氣工程學院，湖南 長沙 410022；2. 廣東技術(shù)師范大學 天河學院，廣東 廣州 510540；3. 長安大學 理學院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710064；4. 贛南醫(yī)學院 信息工程學院，江西 贛州 341000)

有文獻討論了亥姆霍茲線圈均勻磁場區(qū)，做了一項有意義的工作[1]．可是，文獻作者使用計算器，效率低，范圍小，精度較差．文獻作者通過粗略計算后認為：均勻區(qū)域呈橢圓形狀．本文作者通過精細作圖發(fā)現(xiàn)并不是這個結(jié)果．當雙環(huán)電流之間的距離發(fā)生改變時，磁場的均勻區(qū)域也發(fā)生了改變．

1 共軸雙環(huán)電流的磁場

如圖1所示，取x軸為縱軸，取z軸為橫軸，兩環(huán)共z軸．設(shè)兩個圓環(huán)的半徑為a，通有同方向的電流I，兩環(huán)之間的距離為2L．

圖1 共軸雙環(huán)電流的場強

根據(jù)通電圓環(huán)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的公式[2,3]，右環(huán)O1在場點P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的兩個分量分別為

(1)

(2)

(3)

左環(huán)O2產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的兩個分量分別是:

(4)

(5)

兩個線圈疊加的磁感應(yīng)強度的兩個分量分別為:

Bx(x,z)=B1x(x,z) +B2x(x,z)

Bz(x,z)=B1z(x,z) +B2z(x,z)

(6)

合場強為

(7)

當x=0時，可得

Bx(0,z)=0

(8)

這是軸線上的磁感應(yīng)強度，只有軸向分量．當z=0時，可得原點的磁感應(yīng)強度:

(9)

磁感應(yīng)強度曲面在原點處是一個鞍點，大小用BS表示．顯然，兩環(huán)距離越大，BS越小．

(10)

其中，B0=μ0I/2a是一個環(huán)電流在環(huán)心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度．

取半徑a為長度單位，取B0=μ0I/2a為磁感應(yīng)強度單位，可以將公式無量綱化，以便于畫出合場強的曲面和均勻范圍[4]．

2 磁場的均勻范圍

設(shè)|B-BS| ≤ 0.01BS為雙環(huán)電流的均勻范圍，即0.99BS≤B≤ 1.01BS．

1) 當L=a/2時，BS=BC，亥姆霍茲線圈場強的曲面和均勻范圍如圖2所示．B=1.01BC的四條等高線分別包圍了4個峰，四條曲線并不連接；B=BC的等高線恰好包圍了4個峰，四條曲線都經(jīng)過鞍點而連接起來；B=0.99BC的等高線是一條曲線，同時包圍了4個峰，曲線如同“X”形狀．同時包圍4個峰的曲線和分別包圍4個峰的曲線之間的區(qū)域就是亥姆霍茲線圈磁場的均勻范圍，其俯視圖如圖3所示，均勻范圍呈“八爪”形狀．

圖2 亥姆霍茲線圈的合場強(L=0.5a)

圖3 亥姆霍茲線圈磁場的均勻范圍(L=0.5a)

2) 當L=0.4a時，兩環(huán)距離比較近，雙環(huán)電流的場強曲面和均勻范圍如圖4所示．B=1.01BS的兩條等高線分別包圍了上面的兩個峰和下面的兩個峰，兩條曲線并不連接；B=0.99BS的等高線是一條曲線，同時包圍了4個峰；B=BS的等高線經(jīng)過鞍點，恰好包圍了上下兩對峰．B=0.99BS的等高線與B=1.01BS的等高線所包圍的范圍是雙環(huán)電流磁場的均勻范圍，其俯視圖如圖5所示，均勻范圍呈“四爪細腰”形狀，鞍點的場強增加了，但是均強磁場的區(qū)域變小了．

圖4 雙環(huán)電流的合場強(L=0.4a)

圖5 雙環(huán)電流磁場的均勻范圍(L=0.4a)

3) 當L=0.6a時，兩環(huán)距離比較遠，雙環(huán)電流的場強曲面和均勻范圍如圖6所示．B=1.01BS的兩條等高線分別包圍了左邊的兩個峰和右邊的兩個峰，兩條曲線并不連接；B=0.99BS的等高線是一條曲線，同時包圍了4個峰；B=BS的等高線經(jīng)過鞍點，恰好包圍了左右兩對峰．B=0.99BS的等高線與B=1.01BS的等高線所包圍的區(qū)域是雙環(huán)電流磁場的均勻范圍，其俯視圖如圖7所示，均勻范圍呈“四爪凹凸”形狀，鞍點的場強減小了，均強磁場的區(qū)域也變小了．

圖6 雙環(huán)電流的合場強(L=0.6a)

圖7 雙環(huán)電流磁場的均勻范圍(L=0.6a)

3 結(jié)束語

通過計算和精細作圖，發(fā)現(xiàn)亥姆霍茲線圈磁場的均勻區(qū)域是“八爪”形狀而不是橢圓形狀，改變了已有的結(jié)論．不論雙環(huán)之間的距離是增加還是減小，磁場的均勻區(qū)域的形狀都會發(fā)生改變，大小都會變小．這種研究電磁場均勻區(qū)域的方法具有通用性．對于帶有等量異號的雙環(huán)電荷，用這種方法研究其電場，也可以發(fā)現(xiàn)類似的現(xiàn)象．