基于凍土蠕變的分數階廣義Kelvin模型

長江大學石油工程學院 湖北 武漢 430100

0 引言

我國的多年凍土面積占國土陸地面積的21.5%,季節凍土分布面積占53.5%,是世界第三凍土大國。[1]我國許多重大管道工程不可避免地要穿越凍土區,例如已建成的國家重點工程—西氣東輸管線。其中輪南-武威段季節性凍土凍深為0.8～1.4m,武威-靖邊段季節性凍土凍深為1.0～1.3m。凍土蠕變是一種較為復雜的現象,土壤的凍結與融化作用會引起管道變形。近年來,隨著凍土區一系列重要基礎設施和重大工程的逐步開展以及人工凍結法施工技術在隧道開挖中的廣泛應用,凍土在復雜環境下(尤其是高應力水平下)的蠕變變形計算成為一個非常重要的研究課題。所以準確建立凍土蠕變模型,對保證凍土區管道安全具有重要意義。

1 研究背景

凍土蠕變研究最早是在國外開展的,蘇聯始于1930年代初期,北美也在1950年代初開始對凍土強度進行研究,逐步建立了凍土強度與蠕變理論。[2]自20世紀60年代以來,凍土的流變本構理論研究取得了較大的發展。其中經驗模型和整數階元件模型是目前最常用的兩類凍土蠕變本構模型。經驗模型通過對人工凍土蠕變試驗數據進行最小二乘法擬合,得到應變與時間的函數關系。該模型公式簡單,針對性強,可以很好地對蠕變曲線進行擬合,而模型中的參數缺乏明確的物理意義[3]。整數階元件模型是由彈簧元件、粘壺等元件經過各種組合而得,整數階元件蠕變模型的構成具有明確的物理力學意義,直觀易懂[4]。整數階伯格斯元件模型、賓厄姆元件模型及西原元件模型等是常用的人工凍土經典蠕變模型[5]。然而,模擬一個完整的人工凍土蠕變模型,往往需要很多元件進行組合,進而導致所建模型參數繁多。而分數階導數理論是數學分析的一個分支,是專門研究任意階積分和微分的數學性質及其應用的領域。分數階導數模型可以精確的擬合凍土的蠕變過程,而且形式簡單、統一,在計算過程中需要調整的參數很少,僅采用很少的幾個元件的組合就可以獲得很好的結果。相比較于整數階導數以及積分,分數階微積分可以更簡潔準確的描述具有歷史記憶和空間全域相關性等復雜力學和物理過程。[6]目前對于凍土蠕變模型的構建,建立考慮凍土應力-應變-強度特性隨時間變化的蠕變本構模型,有助于解決工程應用中遇到的蠕變問題。研究人員從不同方向出發,提出了一系列用于預估凍土蠕變變形的模型。例如:Hou等[7]同時考慮了應力引起的弱化及強化效應對凍土蠕變過程的影響,提出了一種分數階蠕變本構模型。李鑫等[8]通過引入硬化因子與損傷因子來考慮溫度、應力造成的凍土材料強化與弱化,進而提出了適用于凍土的改進Nishihara模型。Yang等[9]針對凍結粉土進行了三軸壓縮及蠕變試驗,發現圍壓的增長能抑制凍土的變形,并提出了擾動狀態的黏彈塑性本構模型及一種新的元件蠕變本構模型。姚亞峰等[10]通過改進遺傳算法,獲得各溫度下蠕變模型,其能準確反映凍土蠕變的整體規律。周志偉等[11]進行不同溫度和圍壓條件下的三軸壓縮和蠕變試驗,基于超塑性理論和過應力原理建立了凍結黃土的速率相關本構模型。李東偉等[12]在Nishihara模型的基礎上,通過分析深層人工凍土在不同圍壓和溫度下的三軸蠕變和剪切試驗結果,建立了深層人工凍土的分數階本構模型。

經典Kelvin模型是由彈簧與牛頓粘壺串聯組合而成,能描述凍土的衰減蠕變過程,而不能完整描述非衰減蠕變,局限性較多。因此我們提出將Kelvin模型中的整數階牛頓粘壺替換為分數階Abel粘壺,并串聯一個應力-應變雙控的非線性黏壺元件,從而得到改進后的分數階導數Kelvin模型。改進后的模型實用性及合理性通過已有的蠕變試驗結果進行驗證。

2 模型改進

傳統Kelvin模型是普通的元件模型,通過虎克彈性體和牛頓黏性體的串并聯組合來模擬凍土蠕變的力學行為。由于這些元件均是線性元件,只能描述線性變化,所以我們引入非線性元件,即分數階元件,以便更好擬合凍土蠕變過程。如圖1、圖2,將Kelvin模型中原本的牛頓粘壺替換成Abel粘壺,使得改進后的模型參數少且物理意義明確,與實驗結果也能很好的進行擬合,為人工凍土領域的計算提供了一種更精確的新方法。進一步通過分析發現,改進后的Abel粘壺雖能夠描述非線性變化,但該模型卻始終無法較好的擬合凍土加速蠕變階段的蠕變情況。實際上,凍土蠕變大部分時間處于非穩定蠕變階段和穩定蠕變階段,只有當應力應變達到某一臨界值時,才會出現加速蠕變階段,且經歷時間很短,即可導致凍土結構物破壞。分數階Kelvin模型無法更好的模擬加速蠕變的原因也在此,而采取繼續串聯一個應力-應變觸發的Abel粘壺即可將兩種情況分開,如圖3。

2.1 Abel粘壺 Abel粘壺的應變滿足以下關系:

式中:η2是分數階元件的粘滯系數,r是分數階元件求導階數,t為時間。

圖4 Abel粘壺Figure4 Abel sticky pot

2.2 應力-應變觸發的Abel粘壺 復雜應力狀態下,凍土蠕變與時間關系曲線分為兩類:衰減型蠕變和非衰減型蠕變。圖-5中橫軸表示時間,縱軸表示應變偏量對時間的變化率。當應力偏量較小時,蠕變呈衰減型,如圖5a所示,在衰減過程中,變形速率逐漸趨近于零,蠕變變形收斂于某一個變形水平。而當應變超過某一界限值,其蠕變呈現非衰減型,如圖5b所示,非衰減型蠕變一般可分為3個階段:非穩定蠕變階段AB,穩定蠕變階段BC和加速蠕變或破壞階段CD。實際工程中,加速蠕變階段CD往往經歷很短時間,即可導致凍土結構物破壞。因此,對實際工程有研究意義的通常是衰減型蠕變以及非衰減型的蠕變階段AB段和BC段

圖5 變形隨時間變化的蠕變曲線Fig.5 creep curves of deformation with time

在高應力情況下,凍土內部受到破壞而發生加速蠕變。吳斐等研究鹽巖時引入了一種帶有應變觸發的粘壺,通過應變的條件觸發該元件的開關,既可以判斷蠕變過程是否進入加速階段,又能清楚反應衰減型蠕變與非衰減性蠕變的區別。當應力滿足σ≤σs(σs為屈服應力)且應變滿足ε≤εa(εa為凍土進入加速蠕變的臨界值),該元件開始觸發,凍土顯示加速蠕變特性,如圖6.

圖6 應力-應變觸發的Abel粘壺Figure6 Abel sticky pot triggered by stress-strain

應力-應變觸發的Abel粘壺的本構關系為:

3 本構方程推導

如圖3,改進后的模型是采用線性元件與非線性元件串并聯組合而成的元件模型,既可以針對低應力水平下的線性變化作出相應的表示,又可以描述超過屈服應力和屈服應變情況下的加速蠕變階段。該模型的應力應變本構方程滿足元件串并聯關系,根據串并聯公式,可得:

凍土的蠕變特性與應力大小相關,當凍土處于低應力水平下,蠕變只表現衰減型蠕變的特征。元件沒有觸發最后一個裝置,簡化為圖2所示的模型,本構方程為(1)式。當凍土處于高應力水平下,凍土開始進入加速蠕變階段,應力-應變雙觸發粘壺開關打開,進入工作狀態,此時可用來擬合衰減型模型的凍土蠕變特性。

4 數據擬合

為了驗證修改后模型的適用性,本文數據采用單軸應力狀態下凍結的蘭州沙土蠕變蠕變實驗數據進行驗證與分析。[13]模型參數如下表:

表1 模型參數Table 1 model parameter

式(1)、(2)為改進后的分數階Kelvin模型,根據實際數據與計算值可以看出,模型對試驗數據有較好的描述。在低應力下的試樣開始表現出衰減蠕變,隨后進入穩定蠕變階段。

圖8 蠕變階段應變隨時間變化圖Fig.8 variation of strain in creep stage

5 結論

引入應力-應變雙觸發粘壺對分數階Kelvin模型進行改進,得到應變與時間的函數,可以描述凍土蠕變過程。相對之前的模型,改進后的模型能很好地描述衰減型蠕變與非衰減性蠕變兩種情況,且互不影響,既保證了之前模型的優點,又能很好擬合加速蠕變階段的蠕變特性,為凍土的蠕變特征計算提供了一種新的方法。

引入應力-應變雙觸發粘壺元件,僅是擬合凍土蠕變眾多方法中的一種,模型中對于某些數據的擬合還不夠精確,還具有改進空間。或許還有更好的方法,需要我們繼續去探索研究,從而更好解決凍土區管道工程問題。