如何用函數思想指導高中數學解題

李騰

【摘要】? 本文主要闡述如何用函數思想指導高中數學解題，并結合當下高中學生數學解題實際情況，首先分析函數思想概述，其次從通過函數思想處理方程問題、通過函數思想處理不等式問題、通過函數思想處理數列問題、通過函數思想處理應用問題幾個方面深入說明并探討用函數思想指導高中數學解題的措施，進一步強化函數思想在高中數學解題中的運用，為相關研究提供參考資料.

【關鍵詞】? 函數思想;高中數學;解題思考

函數思想是數學學科的一個思想，會對數學解題成效產生較大的作用，也是師生分析與解決問題的關鍵理念.將函數思想引入數學教學，本質上便是以題目的內在關聯或者某個特點為中心，研究其性質或圖像，從而解決問題.在高中數學中，函數是重要的組成部分，貫穿教學的各個環節，尤其是最近幾年的高考題目增加了對函數知識的考查比例.所以，在實際的教學中教師要充分引進函數思想，指導學生巧妙地解決數學問題.

一、函數的概念

設A，B是兩個非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x） 和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A.其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域，與x的值相對應的y值叫作函數值，函數值的集合{f（x）| x∈A }叫作函數的值域.

注意：

（1）“y=f（x）” 是函數符號，可以用任意的字母表示，如y=g（x）;

（2）函數符號“y=f（x）”中的f（x）表示與x對應的函數值，是一個數，而不是f乘以x.

二、構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

解決函數問題前必須準確確定該函數的定義域.函數的定義域包含三種形式：

（1）自然型：指函數的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如分式函數的分母不為零、偶次根式函數的被開方數為非負數、對數函數的真數為正數等）;

（2）限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數學習中的重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，學生解題時容易犯錯誤;

（3）實際型：解決函數的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量x的實際意義.

求函數的值域是比較困難的數學問題，中學數學要求學生能用初等方法求一些簡單函數的值域問題，例如：

（1）配方法（將函數轉化為二次函數）;

（2）判別式法（將函數轉化為二次方程）;

（3）不等式法（運用不等式的各種性質）;

（4）函數法（運用基本函數性質或抓住函數的單調性等）.

三、通過函數思想處理方程問題

所謂方程，就是含有未知數的等式，即便與函數定義有所差異，然而兩者之間存在很大的關聯.在函數中引進解析式表示題目關系便是運用方程的一種表現形式.通過函數思想解決方程問題，本質上是將函數視為已知量為零的方程模式，從而完成數學知識的轉化，巧妙地把方程轉變為函數.

比如在解方程的過程中，尤其是相對煩瑣的方程，通過簡便的理念解決方程需要耗費諸多的時間和精力，難度相對大一些，所以要依據函數思想，立足于函數圖像及性質對方程的解進行研究，從而得到正確答案.

這樣觀察函數圖像及其x軸的交點，就可得到所求問題的答案，m<a<b<n，因為a<b與m<n，所以構建函數可提高解決問題的效率.

四、通過函數思想處理不等式問題

把函數思想作用在求解數學問題上，能夠獲取一定成效.學生針對不同形式的基本函數較為熟悉，若可以深入掌握函數概念，能夠縮短解決問題的時間，提高學習效率.函數是呈現兩個變量之間關系的一種模型，可針對高中數學學科不等式問題產生指導作用，故在解決不等式問題的過程中可以適當引進函數思想.也就是說，教師在具體教學中要讓學生樹立函數思想意識，使學生在解決問題時提高函數思想應用質量，提升學生學習信心.

利用函數解不等式的依據：不等式f（x）> g（x）的解集就是函數f（x）位于g（x）上方的圖像部分的點的橫坐標的值的集合.特別地，f（x）> 0的解集就對應于f（x）的圖像位于x軸上方的部分的點的橫坐標的值的集合.此外，求解“抽象不等式”往往可借助函數的單調性或圖像.

五、通過函數思想處理數列問題

數列是按照某種順序進行排列的一列數，同時其中任何一個數字都作為數列中的一項，所以在處理數列問題過程中，我們可把數列視作項數的一種函數，涉及的通項公式稱為函數公式.對于高中數學問題的解決，我們可以把數列? 視作函數，借助函數知識展開解題.

需要注意的是，函數以及數列之間存在相同點，函數思想本質上是變量規律與內在關聯的研究，以關系的研究找到數量特征，所以函數和數列之間存在通性，我們可以利用函數的性質和圖像分析數列，兩者的區別只是連續性與離散性，在類比之下融合函數思想處理數列問題.

六、通過函數思想處理應用問題

在具體生活中分析兩個變量的關系，特別是路程、環保和生產等問題，常和角度、數量及面積存在關聯.這一部分應用問題和學生生活緊密相連，也是高考考查的熱點問題.在處理這些問題的過程中，我們要善于找到問題中的數量關系，并借助函數解析式進行表達，把問題轉化為函數最值問題.解答應用問題一般包含以下幾個步驟：（1）審題，也就是閱讀題目，明確題目結論及條件，思考被分析量之間的關系，并以符號的形式表達出來;（2）構建模型，探索數量關系，借助函數解析式完成表達;（3）解答，即借助知識與方法得到結果，并結合具體意義檢驗結果，得到正確答案.

函數思想的形成并不是短時間內可以實現的，而是需要師生之間共同努力，長時間的訓練與積累，不間斷地促使學生發展函數思想，自主通過函數知識解決實際問題，如通過函數思想處理方程問題、通過函數思想處理不等式問題、通過函數思想處理數列問題等，在最短的時間內獲取解決問題的最大成效，培養學生的數學素養與思維能力.

【參考文獻】

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