初二數(shù)學(xué)勾股定理

周志峰

最近我們學(xué)習(xí)了“勾股定理”。它是初等幾何中的一個(gè)基本定理，是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個(gè)定理雖然只有簡(jiǎn)單的一句話(huà)，但它卻有著十分悠久的歷史，尤其是它那“形數(shù)結(jié)合”、“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，啟迪和促進(jìn)了我國(guó)乃至世界的數(shù)學(xué)發(fā)展。

勾股定理在西方被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。其實(shí)，我國(guó)古代人民對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯要早得多。在我國(guó)最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，有一段周公與商高的“數(shù)學(xué)對(duì)話(huà)”：

周公問(wèn)：“聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：我們一沒(méi)有登天的云梯，二沒(méi)有丈量整個(gè)地球的尺子，那么我們?cè)鯓硬拍艿玫疥P(guān)于天地之間的數(shù)據(jù)呢？”

商高回答說(shuō)：“我們已經(jīng)在實(shí)踐中總結(jié)出了一些了解天地的好方法。如當(dāng)直角三角形（矩）的一條直角邊（勾）等于3，另一條直角邊（股）等于4的時(shí)候，那么它的斜邊（弦）就必定是5。這就叫做勾股弦定理，是在大禹治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的一個(gè)定理。”

如果說(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話(huà)，那么周公與商高的對(duì)話(huà)則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，這就比畢達(dá)哥拉斯要早五百多年。其中所說(shuō)的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用了勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作出理論性的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法，對(duì)勾股定理進(jìn)行了詳細(xì)的證明。在“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE，它是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2;中間那個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2。于是便有了如下的式子：a2+b2=c2?！毒耪滤阈g(shù)》中的《勾股章》，對(duì)勾股定理的表述是：“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來(lái)，再進(jìn)行開(kāi)方，便可以得到弦?！卑堰@段話(huà)列成算式，即為：弦2=（勾2+股2）。

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)結(jié)合”、“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。正如我國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)家吳文俊所說(shuō)：“在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展的......十七世紀(jì)笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國(guó)這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)?！?/p>

我們今天學(xué)習(xí)勾股定理，不但要學(xué)會(huì)利用它進(jìn)行計(jì)算、證明和作圖，更要學(xué)習(xí)和了解它的歷史，了解其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)結(jié)合”、“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，這對(duì)我們今后的數(shù)學(xué)發(fā)展和科學(xué)創(chuàng)新都將具有十分重大的意義。