問題引導，層次遞進

柏黎平

摘要：數學學習以發展學生數學學科核心素養為導向，而深度學習是實現發展學生核心素養的重要途徑。以“平方根”第一課時為例，以層層遞進的問題引導，探討引發學生課堂深度學習的數學教學實踐。

關鍵詞：問題引導;數學課堂;深度學習

近日，筆者接到了一個公開課任務，內容是人教版七年級下冊“平方根”第一課時。本節內容初看相當簡單，就是平方根概念的引入與表示。“越簡單的課越不好上！”這是所有初中數學教師的教學共識。如何在教材原有的基礎上結合學生實際設計出一節較為理想的課，如何促進學生的深度學習是值得思考的。根據最新的數學課程標準要求：數學教學要以發展學生數學學科的核心素養為導向，創設合適的教學環境，啟發學生思考，引導學生把握數學學習內容的本質。在數學課堂教學中，學生是教學活動的主人，因此，教師要放手讓學生參與數學學習的各個環節，從而使學生真正成為課堂學習的主體，最大限度地引發學生探究知識的內驅力，引導學生主動在課堂中參與實現有深度的學習，促進學生實踐能力和創新意識的發展。

結合本課內容的數學史演進歷程和上述要求，我最后確定了在學生原有知識的基礎上，通過層次遞進的問題引導學生主動探索求知的課堂教學方式。下面就本課的教學過程談談自己的一些想法。

一、情境問題來源于生活

數學課堂，創設問題情境是非常重要的，情境引入設計應該簡練而又有意義，應該具有導向性。按“問題教學法”設計的要求，設計問題不僅要認真分析學生在認知過程中的內在特征，從思維的規律出發，從培養學生具有良好的思維品質出發，而且要深刻分析教材本身的內在聯系，從新舊知識中找到學生興趣的激發點。本課的情境引入以“平方根”概念的產生為主要目的。教材的引入以實際問題“要剪面積為25的正方形紙片，表示該紙片的邊長”為主，但我認為這在“非已知平方數”平方根的表示的引導上還有一定的欠缺。本課教學內容很容易讓學生聯想到“1的平方根會表示，那么2的平方根是多少”的問題，這恰好是本課的重點和難點。于是，我在本課引入時設計了兩個遞進的問題：

問題1：一個正方形的面積為1，它的邊長是多少？

問題2：把這樣的兩個正方形經過適當的裁剪，你能拼成一個面積為2的正方形嗎？如果可以，那么此時該正方形的邊長是多少？

其中，第一個問題復習了新知識，并為應用新知識做好了準備;第二個問題具有一定的挑戰性，學生剛開始可能認為不行，但動手操作探究之后，會發現是可以完成的（如圖1所示）。

由上述探究問題產生了本課所要探究的重點問題：面積為2的正方形是存在的，但它的邊長是多少呢？可以表示嗎？用數學語言表述為：“若a2=2，a=？”這就引入了新課。同時，這個問題將會成為本課學生探究的一根主線，它將串聯起全課的教學內容。

二、引發新舊知識沖突

教學中，由于教學內容的不同，會存在不同的內在關系，如新舊知識之間、已知與未知之間、因果之間的關系等。在這些關系中，我們要仔細分析，從中找出主要的關系，以激發學生探究問題的興趣點。

在本課中，由情境引入我們可以發現現在的主要問題是：原有的舊知識已經不夠我們解決問題了，需要新知識的介入。于是，我們就可以順理成章地給出第三個問題：

問題3：可以發現的確存在一個數的平方等于2，如何來描述這個存在的數？

課堂上，教師可以讓學生進行自主表述，在此基礎上，再給出數學上的規范表述：“一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根。”同時，師生一起根據文字寫出概念的代數表示法。接著，結合情境引入中第一個問題的結論解釋平方根的意義和代數求法，并概括“關鍵是找到平方是1的數”，進行知識的遷移。然后，學生會想到（或教師引導學生）用所習得的新知識“平方根及其求法”去解決情境引入中的第二個問題。學生會發現：問題仍然無法解決，由于2不是學過的平方數，所以找不到平方是2的數。但是，學生也有一定的收獲，他們結合剛剛學到的平方根概念，建立起了“a是2的平方根”的初步印象，知道目前要求2的平方根。

（一）深化概念內涵

雖然沒有完全解決心中的疑惑，但不要緊，學習方面的點滴進步都很寶貴，我們繼續探究。緊接著，教師引出了第四個問題。

問題4：求下列各數的平方根：

100，9，144， ? ? ? ? ?， 0，-4，-1

思考：通過研究上面幾個數的平方根，你覺得有什么要總結的嗎？

因為所給的數是熟悉的平方數，學生能較快得出答案，并且概括出：正數有兩個平方根，它們互為相反數;0的平方根只有一個，就是0;負數沒有平方根。

教師通過本題可以讓學生對平方根的概念和求法等知識進行強化，同時又通過計算、觀察、概括鍛煉了學生觀察問題和概括總結的數學能力。既然又收獲了新知，教師和學生可再次回到情境引入環節中的問題2，看看這一次能否解決。此次，學生有更進一步的收獲：正數2會有兩個平方根，即a的值有兩個，但就是無法表示出來。雖然仍舊無法解決問題，但又有所收獲，這點收獲也是支撐學生前進的動力。于是，學生又繼續探究下去。

（二）固化研究成果

經過兩次探究，學生獲得了進步，但無法完全解決問題。此時，學生的胃口被吊得老高，應該是欲罷不能，探究問題最終答案的積極性更高了。于是，教師趕緊推出第五個問題：

問題5：從之前的數學學習中我們知道，每一個數學概念都有專用的表示方法，那么一個非負數的平方根是如何表示的呢？

此問題由教師直接教授。第二個概念性內容：一個正數a的正的平方根，叫作a的算術平方根，記作“ ? ? ?”，讀作“根號a”，另一個負的平方根是它的相反數，表示成“- ? ? ? ”。教師及時總結：正數a的兩個平方根記作“± ? ? ? ”，而0的平方根是0，所以記作“ ? ? =0 ”;求一個非負數的平方根的運算叫作開平方，所以 ? ? ?中的a稱為被開方數，顯然a ≥0。此段教學內容新知識比較多，學生可能不會完全理解，教師可以再結合上面例1中的題目加以解釋，通過舉例明確求平方根的步驟和表示方法。

（三）例題探究2，對比感受概念表示方法

由于例1的數都為平方數，缺乏本課的重點“非已知平方數”的平方根的求法，我們需要進行適當的變式訓練以突出本課的重點，也就是問題2所要解決的問題。于是，教師給出第六個問題。

問題6：將下列各數開平方：

（1）49 ? ? ? ? ? ? ?（2）1.69 ? ? ? ? （3）3

學生對（1）（2）題的解決不存在困難，解決第（3）題有所困難：已知3有兩個平方根，但無法表示出來。這時，教師再給予明確的解釋：“保留根號，‘± ? ? 。”至此，真相大白，學生馬上會想到用最新的知識來回到本課引入時無法解決的問題，答案為“ ? ? ”。終于成功了，問題得以解決。接下來再進行適當的訓練，讓學生對本課所學新知識有一個強化和遷移的過程。

當然，學生可能又產生一個新的問題：“ ? ? ?”到底是怎樣的一個數呢？這就讓我們留待下一節課去探究吧，我們又為下節課找到了探究問題的理由了。

以上就是筆者“問題引導、層次遞進”的“平方根”第一課時的設計思路。本課以求“2的平方根”問題為一根主線，通過層層遞進的幾個數學問題，串起本課要學習的各個知識點，引導學生逐步進行探究，使學生的認知從模糊到清晰，引發學生深度思考，最終得出問題解決方案。這樣的設計比較符合學生探究新知、認識新知的規律。

參考文獻：

[1]王斌興.在歡樂中成長：名師講述最具活力的課堂愉快教學[M].重慶：西南師范大學出版社，2008.

（責任編輯：奚春皓）