兩類特殊矩陣的特殊性不變比照

田金玲

（大同師范高等專科學校 數學系，山西 大同，037039）

矩陣中有些身份特殊的矩陣，它們有著一般矩陣不具備的良好性質，文章總結了其中兩類特殊矩陣,正交矩陣以及對合矩陣經過變化之后，得到的矩陣還是同種類型矩陣的性質特點，通過比對它們的性質，以求進一步提高對此類矩陣的認識。

預備知識：定義1一個n階實矩陣A叫作一個正交矩陣，如果AAT=ATA=E[1]。

定義2一個n階矩陣A叫作一個對合矩陣，如果A2=E[2]。

1 正交矩陣與對合矩陣的共性比照

性質1.1 如果A是一個正交矩陣，那么AT也是一個正交矩陣。

證明：因為A是一個正交矩陣，所以AAT=AT A=E，于 是 有(AT)AT=AAT=E，同 時 另 有AT(AT)T=AAT=E，故可知AT是一個正交矩陣。

性質1.2如果A是一個對合矩陣，那么AT也是一個對合矩陣[3]。

證明：由A是一個對合矩陣可知A2=E，于是(AT)2=(A2)T=ET=E，故AT也是一個對合矩陣。

性質2.1如果A是一個正交矩陣，那么A-1也是一個正交矩陣[4]。

證明：因為A是一個正交矩陣，所以

AAT=AT A=E，由逆矩陣的定義可知，此時A可逆，并且A-1=AT，由性質1.1可知，A是一個正交矩陣，則AT也是一個正交矩陣，所以A-1是一個正交矩陣。

性質2.1如果A是一個對合矩陣，那么A-1也是一個對合矩陣。

證明：因為A是一個對合矩陣，故A2=E，即AA=E，顯然有A-1=A，而A是一個對合矩陣，故A-1也是一個對合矩陣。

性質3.1如果A是一個正交矩陣，那么A的伴隨矩陣A*也是一個正交矩陣。

證明：因為AA*=|A|E，故A*=|A|A-1，那么(A*)T A*=(|A|A-1)T|A|A-1=|A|(A-1)T|A|A-1=|A|2(A-1)T A-1。由性質2.1知A是一個正交矩陣，則A-1也是一個正交矩陣，故由此得(A-1)T A-1=E，再由A是一個正交矩陣得到AT A=E，兩邊同時取行列式得 |AT A|=E，所以 |AT||A|=1，|A||A|=1，|A|2=1，代入|A|2(A-1)T A-1=E即可得到|A|2(A-1)T A-1=1E=E，于是有(A*)T A*=E。同理可得A*(A*)T=E，故A*也是一個正交矩陣。

性質3.2如果A是一個對合矩陣，那么A*也是一個對合矩陣。

證明：因為(A*)2=(|A|A-1)=|A|2=(A-1)2=|A|2(A-1)2=|A|2(A2)-1，由于A是一個對合矩陣，故有A2=E，于是|A|2(A2)-1=|A|2E，另外，由于A2=E，對此式兩邊同時取行列式可得|A|2=E，進一步 有 |A||A|=1，即 |A|2=1，所 以 推 得|A|2E=E，所以(A*)2=E，于是就有A*也是一個對合矩陣。

性質4.1如果A是一個正交矩陣，那么An（n為正整數）也是正交矩陣。

證明：因為A是一個正交矩陣，顯然AT=A-1，于 是(An)T An=(AT)N An=(A-1)n An=E，同理可得An(An)=E,于是得出An也是正交矩陣。

性質4.2如果A是一個對合矩陣，那么An（n為正整數）也是一個對合矩陣[5]。

證明：因為(An)2=A2n=(A2)n，已知A是一個對合矩陣，故有A2=E，于是可以推得(A2)n=En=E，所以(An)2=E，所以A（nn為正整數）也是一個對合矩陣。

性質5.1如果A，B是正交矩陣,那么分塊矩陣也是一個正交矩陣[6]。

證明：因為A，B是正交矩陣，所以AAT=AT A=E，BBT=BTB=E，于是

PTP=同理可得PPT=E，所以得到也是一個正交矩陣。

性質5.2如果A，B都是對合矩陣，那么分塊矩陣也是一個對合矩陣。

性質6.1如果A，B都是正交矩陣，那么分塊矩陣為正整數）也是一個正交矩陣。

性質6.2如果A，B都是對合矩陣，那么分塊矩陣為正整數）也是一個對合矩陣。

證明：因為A，B都是對合矩陣，由性質5.2的結論可知也是一個對合矩陣，即所 以En=E，所以分塊矩陣為正整數）也是一個對合矩陣。

性質7.1如果P，Q是n階實矩陣，而分塊矩陣是一個正交矩陣，那么P，Q也是正交矩陣。

性質7.2如果P，Q是n階矩陣，而分塊矩陣是一個對合矩陣，那么P，Q也是對合矩陣。

2 正交矩陣與對合矩陣性質的差異性比照

性質8.1如果A是一個正交矩陣，B也是一個正交矩陣，那么AB也是正交矩陣。

證明：因為A，B均為正交矩陣，所以AAT=AT A=E，BBT=BTB=E，于 是 有(AB)T(AB)=BT AT AB=BT(AT A)B=BTEB=BTB=E，同 理 可得(AB)T(AB)=E，于是得到AB也是正交矩陣。

性質8.2如果A是一個對合矩陣，B也是一個對合矩陣，同時A與B可交換，那么AB也是一個對合矩陣[7]。

證明：因為A與B可交換，于是有AB=BA成立，所以(AB)2=ABAB=BAAB=BA2B，由于A是一個對合矩陣，故有A2=E，進一步將其代入上式又可得BA2B=BEB=BB=B2，又由于B是一個對合矩陣，即B2=E，于是得到(AB)2=E，所以AB也是一個對合矩陣。

性質9.1如果A是一個正交矩陣，B也是一個正交矩陣,那么A-1B也是正交矩陣[8]。

證明：因為A，B都是正交矩陣，故AT=A-1，BT=B-1，而(A-1)T=(AT)-1，于 是 有(A-1B)T=BT(A-1)T=B-1(AT)-1=B-1(A-1)-1=(A-1B)-1，根據逆矩陣的定義可以得到(A-1B)-1(A-1B)=(A-1B)(A-1B)-1=E，故(A-1B)T(A-1B)=(A-1B)(A-1B)T=E，這樣就證得A-1B也是正交矩陣。

性質9.2如果A是一個對合矩陣，B也是一個對合矩陣,并且A-1與B可交換，那么A-1B也是對合矩陣。

證明：因為A，B都是對合矩陣，所以A2=E，B2=E，又因為A-1與B可交換，所以A-1B=BA-1，于是(A-1B)2=A-1BA-1B=BA-1A-1B=B(AA)-1B=B(A2)-1B=BEB=B2=E，所以A-1B也是對合矩陣。

性質10.1如果A是一個正交矩陣，B也是一個正交矩陣,那么AB-1也是正交矩陣[9]。

證明：仿照性質9.1的證明過程，顯然可得AB-1也是正交矩陣。

性質10.2如果A是一個對合矩陣，B也是一個對合矩陣，并且A與B-1可交換，那么AB-1也是對合矩陣。

證明：仿照性質9.2的證明過程，顯然可得AB-1也是對合矩陣。

性質11.1如果A是一個正交矩陣，B也是一個正交矩陣,那么ATB也是正交矩陣[10]。

證明：因為A，B都是正交矩陣，故AT=A-1，BT=B-1，而(A-1)T=(AT)-1，于 是 有(ATB)T=BT(AT)T=B-1(A-1)T=B-1(AT)-1=(ATB)-1，再 根 據逆矩陣的定義可以得到(ATB)-1(ATB)=(ATB)(ATB)-1=E，所 以(ATB)T(ATB)=(ATB)(ATB)T=E，這樣就證得ATB也是正交矩陣。

性質11.2如果A是一個對合矩陣，B是一個對合矩陣,并且AT與B可交換，則ATB也是對合矩陣。

證明：因為A，B都是對合矩陣，所以A2=E，B2=E，又因為AT與B可交換，所以ATB=BAT，于是(ATB)2=ATBATB=BAT ATB=B(AT)2B=B(A2)TB=BEB=B2=E，所 以ATB也 是 對 合矩陣。

性質12.1如果A是一個正交矩陣，B也是一個正交矩陣，那么BAT也是正交矩陣。

證明：仿照性質11.1的證明過程，顯然可得ABT也是正交矩陣。

性質12.2如果A是一個對合矩陣，B是一個對合矩陣，并且A與BT可交換，則ABT也是對合矩陣。

證明：仿照性質11.2的證明過程，顯然可得ABT也是對合矩陣。

性質13.1如果A是一個正交矩陣，B也是一個正交矩陣,那么B-1AB也是正交矩陣。

證明：因為A，B都是正交矩陣，故AT=A-1，BT=B-1，而(A-1)T=(AT)-1，于 是 有(B-1AB)=BT AT(B-1)T=B-1A-1(BT)-1=B-1A-1(B-1)-1=(B-1AB)-1，再根據逆矩陣的定義便可得(B-1AB)-1(B-1AB)=(B-1AB)(B-1AB)-1=E，從而有(B-1AB)T(B-1AB)=(B-1AB)(B-1AB)T=E，這樣就證得B-1AB也是正交矩陣。

性質13.2如果A是一個對合矩陣，B為可逆矩陣，則B-1AB也是一個對合矩陣。

證明：因為(B-1AB)2=B-1ABB-1AB=B-1AEAB=B-1A2B，由于A是一個對合矩陣，故有A2=E，于是上式可繼續化簡得B-1A2B=B-1EB=B-1B=E，即有(B-1AB)2=E，所以B-1AB也是一個對合矩陣。

3 正交矩陣具有而對合矩陣不具有的性質

性質14.1如果A是一個正交矩陣，B是一個正交矩陣，且為反對稱矩陣，則A+B是正交矩陣[11]。

證明：因為A，B均為正交矩陣，那么我們可以分別得到AAT=AT A=E，BBT=BTB=E，同時由于為反對稱矩陣，又有成立，于是就有進一步可得，

應用以上條件，于是有(A+B)T(A+B)=(AT+BT)(A+B)=AT A+ATB+BT A+BTB=E+E+O=E，同理可得(A+B)(A+B)T=E，于是得到A+B為正交矩陣。