局部單葉對數調和映射的Bohr半徑

江清華,袁文俊

(廣州大學數學與信息科學學院,廣東 廣州 510006)

1 引言

假設A()是一類定義在單位圓盤:={z:|z|<1}上的解析函數集合.1914年,Bohr[1]得到了在單位圓盤上的解析自映射f級數展開式的模的大小估計.下面是著名的Bohr不等式,如果

那么

Bohr實際上得到的半徑|z|=,后來Wiener,Riesz和Schur[2?4]分別研究得到了精確的半徑|z|=.Bohr不等式也可以換一種描述,如果

那么

對于

Bohr不等式的一個等價形式

這里的d是歐氏距離.上述不等式描述了解析映射把單位圓盤映射到單位圓盤的邊界上的Bohr現象.最近,Defant等人研究了多維Bohr半徑與局部Banach空間理論之間的關系,并且獲得了關于多圓盤Dn[5]對于n維Bohr半徑的最佳漸近值的估計.

2 預備知識

這一節,給出一些相關記號和概念.單位圓盤D上的調和函數是指復值函數

且滿足Laplace方程

u,v均為單位圓盤上的實值調和函數.由此f有規范表示f=h+ˉg,這里的h,g均為單位圓盤上的解析函數,且滿足f(0)=h(0).我們說f在單位圓盤上局部單葉且具有保向性是指其Jacobian行列式Jf(z)>0,或者等價地說,在單位圓盤上其第二復特征有此特性|ωf(z)|<1[6].

假設B)表示一類由函數ω∈A()且滿足|ω(z)|<1的集合.定義在單位圓盤上的對數調和映射就是一類非線性偏微分方程

的解,其第二復特征ω∈B().因此Jacobian行列式

當f是一單位圓盤上非退化的對數調和映射,有下列表達式

這里的h,g均屬于A().在文獻[7],作者Mao等人對于非退化的對數調和映射引進了Schwarz導數概念,研究Schwarz引理并獲得了兩種Landau型定理.

如果f是單位圓盤上的非常數對數調和映射,其僅在z=0處退化,那么f有下列表達式[8]

此處的m是非負整數,Reβ>?,h,g均為單位圓盤上的解析函數,滿足h(0)0和g(0)=1,指數β僅依靠ω(0),有如下關系式

f(0)0,當且僅當m=0,有一類單葉對數調和映射僅在原點退化,當且僅當m=1,也就是說f有下列表達形式

此處像區域(hg)()不包含0且g(0)=1.本文中,用記號表示把單位圓盤映射到星形區域的單葉對數調和映射集合,且滿足f(0)=0,h(0)=g(0)=1這一類對數調和映射近期被廣泛研究[9?12].

3 主要結果及其證明

定理 3.1假設是把單位圓盤D映射到復平面C的一星形區域的保向對數調和映射,那么下面的不等式

成立,并且不等式(2)是精確的.

證首先由[8,定理5.1]可得

其中S?星形函數類.因此

對于|z|=r,根據星形函數的增長定理和性質可得

又根據[13,定理2],g(z)可以表示為

所以產生

和

所以結合(3),(4)可以得到上界

對于左邊下界的估計,結合文獻[13,定理2],

經簡單運算得出

與此類似|g(z)|的下界

從而有

結合(6),(7)可以得出

再結合(5),(8)可以得出不等式(2)成立,為了驗證不等式(2)的精確性,可以分別取

證畢.

定理3.2假設是局部單葉保向對數調和映射,其表達式把單位圓盤映射到復平面一星形區域,h,g分別為

那么下列兩個不等式成立

對于|z|≤,這里的是下面方程

在(0,1)的唯一解;

|z|≤,這里的是方程

屬于區間(0,1)的唯一解.

證記

根據文獻[12,定理3.3],

再結合文獻[13,Corollary 1],有

因此

當且僅當

Bohr半徑rhβ是下面方程

的唯一正解.與此類似有下列不等式

當且僅當

的唯一正解,證畢.

定理 3.3假設是定義在單位圓盤到復平面上的一星形區域的局部單葉對數調和映射,那么對于任意的實數s∈,使得

對于|z|≤rf,該Bohr半徑rf是下面方程

在區間(0,1)唯一解.

證首先由文獻[12,定理3.3]|ak|≤2+和|bk|≤2?,再結合文獻[13]給出

因此有

當且僅當

所以該Bohr半徑rf是方程

的唯一解,證畢.