一類含多奇性項(xiàng)的Grushin型算子方程解的漸近性質(zhì)

張金國(guó),楊登允

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江西南昌 330022)

1 引言

本文主要研究如下含多個(gè)奇性項(xiàng)和臨界指數(shù)增長(zhǎng)的非線性次橢圓型方程的非平凡解在奇點(diǎn)處的漸近性質(zhì)

此外,非線性項(xiàng)f:?×R→R是Carath′eodory函數(shù),且滿足

則Grushin梯度為?α=(X1,...,XN),由此Grushin型算子可表示為

顯然:當(dāng)0時(shí),該算子是橢圓型的,并且在流形{0}×上是退化的;當(dāng)α是非負(fù)整數(shù)時(shí),Grushin算子是H¨ormander型的.其它相關(guān)知識(shí)可以參見[1-5]等.

假設(shè)k≥2,對(duì)任意的i=1,2,···,k,定義

利用Moser迭代技巧,本文討論了方程(1.1)的非平凡解在奇點(diǎn)處的漸近性質(zhì).結(jié)論如下.

(i)存在常數(shù)C,ρi>0使得

其中Bd(ai,ρi)表示在距離d的意義下以ai為圓心,以ρi為半徑的球,且ajBd(ai,ρi),i,j=1,2,···,k,ij.

(ii)存在常數(shù)C>0使得

在歐式空間中,關(guān)于Laplace算子問題的相關(guān)結(jié)論可參考[7].利用Moser迭代和分析技巧,我們?cè)诘诙?jié)給出定理1.1的證明.對(duì)于退化的Grushin型算子和Carnot群上的次橢圓算子而言,該結(jié)論依然是新的.

2 定理1.1的證明

首先給出廣義Hardy型不等式(1.11)的證明.

不等式(1.11)的證明令ρ=min{d(ai,al),d(ai,??)},i,l=1,2,···,k,. 則Bd(ai,ρ)∩Bd(al,ρ)=?,其中Bd(a,ρ)={x:x∈?,d(x,a)<ρ}.由不等式 (1.7)和ψi<1(i=1,2,···,k) 可得

因此,不等式(1.11)得證.上述結(jié)論表明廣義Hardy型不等式的最佳常數(shù)可如下定義:

為了估計(jì)方程(1.1)的非平凡解在原點(diǎn)處的漸近性質(zhì),我們需要如下的Lp估計(jì).

證明引理2.2的證明與[1,命題3.2]或[7,引理3.1]證明過程類似.此處略.

為了研究方程解在奇點(diǎn)處的漸近性質(zhì),我們將?做如下分解

定理1.1的證明設(shè)u∈是方程(1.1)的解.令

從而將u=d(z,ai)?βv帶入方程(1.1)的左邊,由(2.4),(2.5)式可得

結(jié)合f(z,u)=f(z,d(z,ai)?βv)及(1.1),(2.6)可得

在(2.7)式兩邊同時(shí)乘上d(z,ai)?β,可得

其中L,s>1在后面給定.將試驗(yàn)函數(shù)φ代入(2.8)式得

由Young不等式,對(duì)充分小的ε>0,存在C1(ε)>0使得

從而

將φ的表達(dá)式代入(2.10)式右邊第一項(xiàng)中,利用函數(shù)f滿足的條件(1.3)可得

對(duì)于上式第一項(xiàng)利用不等式tq≤t2+(q∈[2,2?))可得

從而,存在C1,C2>0使得

最后,將φ的表達(dá)式代入(2.10)式右邊第二項(xiàng)中,利用μi的定義,中值定理,Young不等式和ψi<1可得

其中C3,C2(ε)是正常數(shù).

下面利用如下形式的加權(quán)Sobolev不等式[3]對(duì)(2.17)的右端項(xiàng)做進(jìn)一步的處理:

因此,結(jié)合(2.17),(2.19)式,(2.10)式右端第二項(xiàng)滿足