一類帶記憶項的非經典熱方程的爆破問題

吳少華,吳迎東,程 新

(武漢大學數學與統計學院,湖北 武漢 430072)

1 引言

在本文中,我們考慮如下模型:

在過去幾十年中,拋物型方程的研究取得了豐碩的成果,其中以美國科學院院士Avner Friedman為首的數學家,更是將這一領域的研究推向了極高的水平.在文獻[1]中,Friedman院士利用先驗估計證明了拋物組解的可微性,隨后,他在文獻[2]中證明了,各種不同的積分增長條件下,一般拋物組的唯一性定理.Mizohata[3]則用半群的方法給出了Cauchy問題的存在性,Tychonov[4]則對熱傳導方程首先建立了Cauchy問題解的唯一性.在Friedman的論文[5-8]中,集中解決了關于拋物型方程的自由邊界問題,即

其中x=s(t)不是已經給定的邊界,而是和u(x,t)一起尋找的自由邊界.在此基礎上,自由邊界的問題得到較為充分的研究,Douglas[9]與Kyner[10]則發展了Friedman研究自由邊界的方法,考慮了非經典的熱方程.

近年來,學者們則開始研究關于熱傳導方程帶記憶項邊界問題的研究[11,12],記憶項即帶有時間積分邊界條件.帶記憶項的自由邊界問題,有核反應堆動力學相關問題[13],人口流動問題[14].關于這類模型的局部(或整體)解的存在性,穩定性,有限時間爆破都被Y.Yamada,P.Souplet和P.Vernole等人討論清楚了.

粘彈性模型中也研究了擴散中的記憶項非牛頓流體中的力[15],還有涉及帶有記憶項的Fisher方程形式的模型的研究[16,17].在這里需要指出的是,分數階時間導數作為記憶算子已經在D’Arcy定律和分子傳輸的記憶形式學中進行了研究[18],關于氣候模型中擴散和反應,我們也引入了記憶條件[19].

有兩個原因,促使我們研究問題(1.1).第一,在文獻[20]中,模型(1.3)

已經被證明,所有非負解都會在有限時間爆破,爆破只會發生在邊界.

第二,在文獻[11]中,鄧鏗研究了帶記憶邊界條件的熱方程(1.4),證明了解的全局存在性與爆破性質.

式子中,p≥0,q≥0,and ?T=?×(0,T),其中?是上的有界區域,具有光滑的邊界??,是單位法向量,指向向外.初始值u0是一個在上非負連續的函數.他的主要結論是：如果0≤p+q≤1,則(1.4)的解是全局的.另一方面,如果p+q>1,則所有非負,平凡的解是在有限時間爆破的.

2 解的最值性質

在這一節,我們將證明一個定理,它將輔助證明定理4.1,這個定理刻畫的是解的最大值屬性,證明主要通過構造兩個函數.

定理2.1如果u(x,t)是×(0,T)(T<1)上的連續函數,滿足

則對任意的?′???,我們有sup{u(x,t);(x,t)∈?′×(0,T)}<∞.

證不失一般性,我們認為??是光滑的,且是C2的.

3 有限時間爆破

下面,我們通過格林函數方法構造一個關于v(x,t)的表達式,然后利用Banach不動點定理,我們可以證明該表達式是問題(1.1)的局部經典解.

定理3.2設GN(x,y,t,τ)是表示帶有齊次Neumann邊界條件的熱方程的格林函數,則在問題(1.1)的條件下我們有：

對較小的t是一個壓縮映射.

證根據文獻[21],令

定理3.3問題(1.1)的非負,非平凡解在有限時間內爆破.

證后文中,在不引起任何混淆的情況下.我們使用ci或Ci(i=0,1,2,...)表示各種正常數.如文獻[22]中所示,我們有

根據(3.2),(3.3)和詹森不等式得到

另一方面,根據(3.2),(3.3),我們有

顯然,k(t) 滿足

將(3.7)中的方程乘以k′(t)并從T到t積分,我們得到

對于足夠大的T,不等式(3.8)產生矛盾.

4 邊界爆破

將上式在(t,T)上積分,得到

取 ?′???,滿足d(??,?′)=?>0,對于這樣的 ?′,我們再取 ?′′???,滿足 ?′???′′,d(??′′,?′)≥?/3,d(??,?′)≥?/3,對??>0,下式成立

根據(3.2),(4.1),(4.2)得到

根據定理2.1,我們得到

對于某些C4>0,我們的ψ ∈C2(?′′) 滿足