基于A-V模型的改進(jìn)模型及單軸棘輪效應(yīng)預(yù)測(cè)

陳小輝， 周 楊， 劉明月， 藺永誠

(1.東北大學(xué)秦皇島分校 控制工程學(xué)院, 河北 秦皇島 066004； 2.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410083)

核反應(yīng)堆、壓力容器及管道、航空發(fā)動(dòng)機(jī)、海上平臺(tái)等結(jié)構(gòu)/構(gòu)件在復(fù)雜載荷服役及反復(fù)受載的狀態(tài)中發(fā)生棘輪效應(yīng)，即會(huì)導(dǎo)致材料持續(xù)產(chǎn)生循環(huán)塑性應(yīng)變的累積.在實(shí)際工程中棘輪效應(yīng)會(huì)降低結(jié)構(gòu)/構(gòu)件的疲勞壽命或引起結(jié)構(gòu)/構(gòu)件的大變形，影響正常工作.因此，國(guó)內(nèi)外的一些設(shè)計(jì)規(guī)范中已要求對(duì)結(jié)構(gòu)/構(gòu)件的棘輪效應(yīng)進(jìn)行分析，如中國(guó)的JB4732—1995(2005年確認(rèn))，美國(guó)的ASME Code Section III，德國(guó)規(guī)范KTA和法國(guó)規(guī)范RCC-MR.

目前許多學(xué)者針對(duì)平均應(yīng)力、應(yīng)力幅值、加載率、加載歷史以及應(yīng)力比等多種加載方式對(duì)棘輪效應(yīng)的影響進(jìn)行了研究，利用循環(huán)本構(gòu)模型對(duì)棘輪效應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)已經(jīng)取得了非常大的進(jìn)步，比如， Armstrong和Frederick(A-F)模型[1]是最經(jīng)典的非線性隨動(dòng)硬化模型之一，它是通過引入一項(xiàng)動(dòng)態(tài)恢復(fù)項(xiàng)從而改善了傳統(tǒng)線性隨動(dòng)強(qiáng)化模型.利用A-F模型預(yù)測(cè)的材料棘輪效應(yīng)高于試驗(yàn)值.文獻(xiàn)[2-9]以A-F模型為基礎(chǔ)對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)模型可以不斷增加參數(shù)量，但對(duì)棘輪效應(yīng)的預(yù)測(cè)存在一定瑕疵.Bower[10]通過加上了一個(gè)與背應(yīng)力相關(guān)的附加項(xiàng)及其演化方程改善了A-F 模型中的動(dòng)態(tài)恢復(fù)項(xiàng)，該模型預(yù)測(cè)的材料棘輪效應(yīng)仍然高于試驗(yàn)值.Ahmadzadeh等[11]在Bower模型的基礎(chǔ)上引入?yún)?shù)δ解決了棘輪效應(yīng)易于安定的問題，并研究了Al6061/SiCp復(fù)合材料在單級(jí)和階梯加載條件下的棘輪變形，成功地預(yù)測(cè)了不同加載歷史下的棘輪應(yīng)變曲線[12].Karvan等[13]提出各向同性變量會(huì)顯著影響A-V模型中變量b的大小，通過在A-V模型中加入不同的各向同性硬化規(guī)則，可以改善A-V模型在不同材料不同加載方式下棘輪效應(yīng)的預(yù)測(cè)結(jié)果.陳小輝等[14]分析了Z2CND18.12N不銹鋼內(nèi)壓管道在位移控制下的棘輪應(yīng)變.

本文通過改進(jìn)參數(shù)γ2和引入Ramberg-Osgood(R-O)模型及各向同性硬化，使改進(jìn)A-V模型能更精確地預(yù)測(cè)材料的棘輪效應(yīng).

1 本構(gòu)模型

Armstrong和Frederick[1]將非線性隨動(dòng)硬化A-F模型表示為

dα=Cdεp-γ1αdp.

(1)

式中：α表示背應(yīng)力張量；dα為背應(yīng)力增量張量；dεp為塑性應(yīng)變?cè)隽繌埩浚籆和γ1為材料參數(shù)，是由單軸應(yīng)力-應(yīng)變滯環(huán)曲線的形狀和大小確定；dp為累積塑性應(yīng)變?cè)隽浚?/p>

(2)

Cdεp包含了應(yīng)變硬化效應(yīng)；γ1αdp為動(dòng)態(tài)恢復(fù)項(xiàng)，用于描述背應(yīng)力的非線性特性.

A-F模型預(yù)測(cè)的材料棘輪效應(yīng)低于試驗(yàn)值，Bower[10]通過加上了一個(gè)與背應(yīng)力相關(guān)的附加項(xiàng)及其演化方程，對(duì)A-F模型中的動(dòng)態(tài)恢復(fù)項(xiàng)進(jìn)行了修正，即

dα=Cdεp-γ1αdp,

(3)

db=γ2(α-b)dp.

(4)

Bower模型包含3個(gè)獨(dú)立的材料參數(shù)C，γ1和γ2.參數(shù)C和γ1控制著應(yīng)力-應(yīng)變滯環(huán)曲線的形狀和大小，而式(4)中參數(shù)γ2控制棘輪應(yīng)變率，b為附加的運(yùn)動(dòng)變量，初值為零.

Ahmadzadeh和Varvani-Farahani[11]為了提高Bower本構(gòu)模型的棘輪效應(yīng)預(yù)測(cè)能力，引入了系數(shù)δ，對(duì)Bower模型進(jìn)行了修正，即A-V模型：

dα=Cdεp-γ1(α-δb)dp,

(5)

db=γ2(α-b)dp.

(6)

A-V模型由4個(gè)材料常數(shù)C，γ1，γ2和δ組成.材料常數(shù)C和第一反饋速率γ1控制著應(yīng)力-應(yīng)變滯后環(huán)的大小；參數(shù)γ2控制棘輪速率.由式(6)可以看出，在循環(huán)加載過程中，附加運(yùn)動(dòng)變量b隨背應(yīng)力α的運(yùn)動(dòng)具有“指數(shù)滯后”.參數(shù)γ2可以控制(α-b)的平均速率值.A-V模型對(duì)第一階段預(yù)測(cè)棘輪應(yīng)變值明顯低于試驗(yàn)值，并且棘輪應(yīng)變率隨著循環(huán)次數(shù)的增加而快速趨于穩(wěn)定，利用A-V模型模擬預(yù)測(cè)大循環(huán)棘輪效應(yīng)時(shí)也不夠準(zhǔn)確.

2 A-V模型參數(shù)確定

A-V模型在循環(huán)加載條件下，參數(shù)的選取可以根據(jù)不同工況下材料的棘輪效應(yīng)來確定[11].用Z2CND18.12N[15]材料在平均應(yīng)力為100 MPa，應(yīng)力幅值為250 MPa作用下的單軸棘輪效應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定模型參數(shù).

參數(shù)C和γ1的選取與材料和載荷大小直接相關(guān)，其控制滯環(huán)曲線的形狀和大小[11].為了獲得與試驗(yàn)數(shù)據(jù)一致的滯環(huán)曲線形狀和尺寸，通過改進(jìn)模型的閉式解來確定不同的參數(shù)C和γ1.

圖1給出了Z2CND18.12N奧氏體不銹鋼在平均應(yīng)力σm=100 MPa和應(yīng)力幅值σa=250 MPa下參數(shù)C=160 GPa和γ1=800 MPa對(duì)應(yīng)的滯環(huán)曲線形狀和大小.可看出，隨著循環(huán)次數(shù)的增大，滯環(huán)曲線連續(xù)向前運(yùn)動(dòng).圖2為Z2CND18.12N奧氏體不銹鋼在單軸應(yīng)力循環(huán)下(σa=175 MPa,σm=150 MPa)的典型棘輪響應(yīng)，以及不同參數(shù)γ2和δ對(duì)A-V模型的預(yù)測(cè)結(jié)果.參數(shù)γ2和δ改進(jìn)了A-F模型過高預(yù)測(cè)的棘輪效應(yīng)和Bower模型預(yù)測(cè)結(jié)果過早發(fā)生塑性安定.從圖2a中可以看出，當(dāng)γ2=0時(shí)，A-V模型退化為A-F模型，產(chǎn)生恒定的棘輪速率.γ2值越大，棘輪應(yīng)變累積越容易趨于安定.γ2=350時(shí)，模擬與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好.圖2b揭示了δ值越大，棘輪應(yīng)變累積越容易趨于安定.

圖1 參數(shù)C=160 GPa和γ1=800 MPa對(duì)棘輪應(yīng)變影響

圖2 應(yīng)力循環(huán)中參數(shù)γ2和δ的變化對(duì)棘輪應(yīng)變的影響

3 改進(jìn)模型

R-O模型是固體力學(xué)中描述彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變曲線的一個(gè)經(jīng)典理論模型[16].在實(shí)際工程中，金屬材料的循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可以采用R-O模型描述[17]，通過引入R-O模型來改善A-V模型預(yù)測(cè)棘輪應(yīng)變時(shí)的缺陷，公式為

(7)

式中：ε為應(yīng)變；σ為應(yīng)力；E為材料初始彈性模量；K為應(yīng)變硬化相關(guān)系數(shù)；n為應(yīng)變硬化指數(shù).

Z2CND18.12N不銹鋼在室溫下表現(xiàn)出明顯的循環(huán)硬化特性[18]，公式為

(8)

(9)

(10)

由文獻(xiàn)[11]知，參數(shù)γ2控制棘輪應(yīng)變速率，并校準(zhǔn)各種材料和應(yīng)力水平的棘輪響應(yīng).從A-V模型預(yù)測(cè)的材料單軸棘輪效應(yīng)的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，A-V模型對(duì)第一階段預(yù)測(cè)棘輪應(yīng)變值明顯低于試驗(yàn)值，棘輪應(yīng)變率隨著循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定，模擬預(yù)測(cè)棘輪效應(yīng)時(shí)不夠準(zhǔn)確.為了更準(zhǔn)確地描述材料的棘輪應(yīng)變演化規(guī)律，本文進(jìn)一步分析了γ2的影響，從圖3a中可以看出，γ2越大，棘輪應(yīng)變穩(wěn)定的速度越快.值得注意的是，不同γ2處的棘輪應(yīng)變曲線與試驗(yàn)曲線有交集，且該交集隨γ2的減小而逐漸延遲，這意味著在不同循環(huán)次數(shù)下使用不同γ2可以獲得更好的結(jié)果.因此，根據(jù)文獻(xiàn)[19]對(duì)參數(shù)γ2的改進(jìn)方式，本文提出了參數(shù)γ2隨累積塑性應(yīng)變p的演化規(guī)律見圖3b.

(11)

(12)

本文采用Z2CND18.12N[15]和SS316L[20]奧氏體不銹鋼的單軸棘輪試驗(yàn)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證A-V模型和改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)效果，其材料參數(shù)見表1.

圖3 改進(jìn)模型的參數(shù)γ2對(duì)棘輪應(yīng)變的影響及其演化規(guī)律

表1 機(jī)械性能和材料相關(guān)棘輪參數(shù)

圖4給出了平均應(yīng)力σm為100 MPa、應(yīng)力速率為100 MPa/s和應(yīng)力幅值σa為250 MPa下Z2CND18.12N奧氏體不銹鋼單軸棘輪應(yīng)變.圖中對(duì)A-V模型、改進(jìn)模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較，結(jié)果表明改進(jìn)模型明顯提高了預(yù)測(cè)精度.

圖4 Z2CND18.12N奧氏體不銹鋼單軸棘輪效應(yīng)

4 棘輪效應(yīng)預(yù)測(cè)

4.1 平均應(yīng)力對(duì)單軸棘輪效應(yīng)的影響

圖5和圖6分別給出了相同應(yīng)力幅值而不同平均應(yīng)力下預(yù)測(cè)的Z2CND18.12N不銹鋼和SS316L鋼棘輪應(yīng)變與其試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比.結(jié)果表明，隨著平均應(yīng)力值的增加，棘輪應(yīng)變值增加；改進(jìn)模型改善了A-V模型預(yù)測(cè)單軸棘輪效應(yīng)的效果.

圖5 當(dāng)σa=175 MPa時(shí)Z2CND18.12N不銹鋼循環(huán)次數(shù)對(duì)單軸棘輪應(yīng)變的影響

圖6 當(dāng)σa=247 MPa時(shí)SS316L鋼循環(huán)次數(shù)對(duì)單軸棘輪應(yīng)變的影響

4.2 應(yīng)力幅值對(duì)單軸棘輪效應(yīng)的影響

圖7和圖 8給出了相同平均應(yīng)力不同應(yīng)力幅值下預(yù)測(cè)的Z2CND18.12N不銹鋼和SS316L鋼棘輪應(yīng)變與其試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比.結(jié)果揭示了，隨著應(yīng)力幅值的增加，棘輪應(yīng)變值增加；改進(jìn)模型改善了A-V模型預(yù)測(cè)單軸棘輪效應(yīng)的效果.

圖7 當(dāng)σm=175 MPa時(shí)Z2CND18.12N不銹鋼循環(huán)次數(shù)對(duì)單軸棘輪應(yīng)變的影響

4.3 應(yīng)力比對(duì)單軸棘輪效應(yīng)的影響

應(yīng)力比可以綜合反映加載應(yīng)力幅值、平均應(yīng)力和峰值應(yīng)力對(duì)棘輪應(yīng)變的影響[15].加載過程中最小應(yīng)力σmin和峰值應(yīng)力σmax的比值定義為應(yīng)力比，即r=σmin/σmax.

4.3.1σmax=350 MPa恒定

1)r=0時(shí)，σmin=0 MPa；

2)r=-0.143時(shí)，σmin=-50 MPa；

3)r=-0.429時(shí)，σmin=-150 MPa.

圖9給出了σmax=350 MPa時(shí)Z2CND18.12N不銹鋼單軸棘輪應(yīng)變曲線.從圖中可以看出，改進(jìn)模型改善了A-V模型預(yù)測(cè)效果.

隨著循環(huán)次數(shù)的逐漸增加，棘輪應(yīng)變率逐漸衰減，且棘輪應(yīng)變隨著應(yīng)力比的改變而產(chǎn)生明顯的變化.可見，峰值應(yīng)力不變，應(yīng)力比大小對(duì)棘輪應(yīng)變的影響顯著.

圖8 當(dāng)σm=52 MPa時(shí)SS316L鋼循環(huán)次數(shù)對(duì)單軸棘輪應(yīng)變的影響

4.3.2σmin=-25 MPa恒定

1)r=-0.077時(shí)，σmax=325 MPa；

2)r=-0.067時(shí)，σmax=375 MPa；

3)r=-0.059時(shí)，σmax=425 MPa.

圖10給出了當(dāng)σmin=-25 MPa時(shí)Z2CND18.12N不銹鋼單軸棘輪應(yīng)變曲線.從圖中可以看出，隨著循環(huán)次數(shù)的逐漸增加，棘輪應(yīng)變率逐漸衰減，最終會(huì)達(dá)到飽和的棘輪安定狀態(tài).棘輪應(yīng)變受應(yīng)力比的影響顯著.

圖9 當(dāng)σmax=350 MPa時(shí)Z2CND18.12N不銹鋼單軸棘輪應(yīng)變

圖10 當(dāng)σmin=-25 MPa時(shí)Z2CND18.12N不銹鋼單軸棘輪應(yīng)變

4.4 加載歷史對(duì)單軸棘輪效應(yīng)的影響

由圖11a可知，改進(jìn)模型預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于A-V模型預(yù)測(cè)結(jié)果.棘輪應(yīng)變隨著平均應(yīng)力的增大而逐漸增大，而且增大了棘輪應(yīng)變累積速率；由圖11a還知，平均應(yīng)力減小到150 MPa時(shí)，棘輪應(yīng)變停止增加.這可以歸因于之前的高平均應(yīng)力加載，從而提高了材料的屈服極限.當(dāng)材料恢復(fù)到低平均應(yīng)力循環(huán)時(shí)，將不再屈服.這是一個(gè)完整的彈性應(yīng)力循環(huán).在這種加載條件下，可以認(rèn)為已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

由圖11b可知，棘輪應(yīng)變隨著應(yīng)力幅值的增大而逐漸增大，同時(shí)增大了棘輪應(yīng)變累積速率.

圖11 多步加載下Z2CND18.12N不銹鋼單軸棘輪應(yīng)變

圖12給出了兩步低-高加載條件下的SS316L[20]預(yù)測(cè)棘輪應(yīng)變和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比.應(yīng)力幅為247 MPa，第一步平均應(yīng)力為52 MPa，第二步為78 MPa每一步循環(huán)100次.從圖中看出，改進(jìn)模型預(yù)測(cè)棘輪應(yīng)變和試驗(yàn)數(shù)據(jù)在圖中非常一致；在多步加載條件下，后續(xù)加載步會(huì)受到前一加載步的影響，加載順序會(huì)對(duì)棘輪大小和應(yīng)力循環(huán)趨勢(shì)造成一定的影響.結(jié)果表明，改進(jìn)模型改善了A-V模型預(yù)測(cè)結(jié)果.

圖12 σa=247 MPa時(shí)多步加載下SS316L鋼單軸棘輪應(yīng)變

5 結(jié) 論

1) 本文對(duì)A-V模型的參數(shù)γ2進(jìn)行了改進(jìn)，同時(shí)還將Ramberg-Osgood模型和各向同性硬化引入A-V模型，用以改善A-V模型對(duì)材料棘輪效應(yīng)的預(yù)測(cè).

2) 本文采用改進(jìn)模型預(yù)測(cè)了Z2CND18.12N奧氏體不銹鋼和SS316L鋼的單軸棘輪效應(yīng)，分析了平均應(yīng)力、應(yīng)力幅值、應(yīng)力比和加載歷史對(duì)單軸棘輪效應(yīng)的影響.結(jié)果表明，改進(jìn)的A-V模型對(duì)材料的棘輪應(yīng)變預(yù)測(cè)結(jié)果比A-V模型效果好，且與試驗(yàn)數(shù)據(jù)較為一致.