標準化值與評價值的評價功能研究
——從相對評價的視角

陳鵬宇

(內(nèi)江師范學院 地理與資源科學學院，四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

隨著評價問題的日益復雜，傳統(tǒng)的單指標評價方法已難以滿足對復雜問題的評價需求，在此背景下，多指標綜合評價方法得到了廣泛的應用[1-2]。在許多評價問題中，各指標往往具有不同的量級和量綱，需要對原始數(shù)據(jù)進行標準化或無量綱化處理，消除指標在量綱及量級上的差異，以使指標信息可以進行有效集結(jié)?，F(xiàn)有標準化方法(或稱無量綱化方法)很多，以線性標準化方法最為常用，代表性的有min-max標準化、極大值標準化、z-score標準化和均值標準化等。在不同的文獻中，這些標準化方法的名稱可能不同。由于不同的標準化方法計算原理不同，主要性質(zhì)總是存在一些差異[3-5]，導致采用不同的標準化方法，可能會得到不同的評價結(jié)果[5-8]。所以，現(xiàn)有研究主要關(guān)注標準化方法對評價結(jié)果的影響以及如何選擇合適的標準化方法[5-8]。標準化作為綜合評價的基本過程，評價者一般不會關(guān)注標準化值的評價功能，即根據(jù)標準化值的大小直接進行優(yōu)劣判斷[9]。對于某個評價指標或評價問題，如果有獨立于樣本的評價標準，可稱為絕對評價。比如考試成績，100分滿分，≥60分及格，≥90分優(yōu)秀，這些都是獨立于樣本的評價標準，可直接按此評價標準判斷某個學生學習成績的優(yōu)劣。對于某個評價指標或評價問題，如果沒有獨立于樣本的評價標準，或評價標準與樣本有關(guān)，可稱為相對評價[10]。社會經(jīng)濟中的許多評價問題都屬于相對評價，比如城市競爭力評價[11]、經(jīng)濟發(fā)展質(zhì)量[12]和科技發(fā)展水平評價[13]等。在這些評價中，標準化值和評價值都沒有獨立于樣本的評價標準，它們都只能用于確定評價指標和評價對象的相對優(yōu)劣水平，不能直接進行優(yōu)劣判斷。那么能否在沒有獨立于樣本的評價標準的情況下，實現(xiàn)標準化值和評價值的評價功能，即直接進行優(yōu)劣判斷？為了解決上述問題，俞立平等[9]提出了sigmoid標準化方法，認為該方法具有評價功能，可直接根據(jù)標準化值進行優(yōu)劣判斷；同時還指出，采用sigmoid標準化的TOPSIS具有評價功能，可以直接根據(jù)評價值進行優(yōu)劣判斷。在沒有獨立于樣本的評價標準時，sigmoid標準化與其他標準化方法一樣，標準化值都由原始數(shù)據(jù)決定，在標準化值的基礎上建立的評價標準(比如，≥0.6及格)都與原始數(shù)據(jù)(樣本)有關(guān)，所以sigmoid標準化仍然屬于相對評價的范疇，并不能直接根據(jù)標準化值進行優(yōu)劣判斷，同樣采用sigmoid標準化的TOPSIS也不能直接根據(jù)評價值進行優(yōu)劣判斷?？梢?，要研究標準化值或評價值的評價功能，必須要明確區(qū)分相對評價和絕對評價。在沒有獨立于樣本的評價標準的情況下，標準化值和評價值都不能直接用于優(yōu)劣判斷。在這種情況下，需要重新審視標準化值和評價值的評價功能。從相對評價的視角，本文將標準化值和評價值的評價功能定義為根據(jù)標準化值或評價值直接進行相對優(yōu)劣判斷。

判斷某個評價對象指標值或評價值的相對優(yōu)劣水平并非難事，通過與其他評價對象的指標值或評價值進行比較即可。但是如果能夠通過標準化值或評價值直接進行相對優(yōu)劣判斷，則評價者可直接對評價對象的相對優(yōu)劣水平進行解讀。比如，如果采用min-max標準化，則最優(yōu)值為1，最劣值為0，標準化值直接反映了相對優(yōu)劣水平，此時標準化值≥0.6可理解為相對于最優(yōu)值和最劣值的及格標準。如果采用TOPSIS，則理想解的評價值為1，負理想解的評價值為0，評價值直接反映了相對優(yōu)劣水平，此時評價值≥0.6可理解為相對于理想解和負理想解的及格標準。但是，大部分標準化方法和評價方法并不具備上述評價功能，必須通過指標值或評價值的相互比較才可以確定相對優(yōu)劣水平。比如，采用z-score標準化時，最優(yōu)值和最劣值不固定，且標準化值存在負值；采用z-score標準化的線性加權(quán)綜合法，最優(yōu)值和最劣值同樣不固定，且評價值存在負值。對于相對評價，評價值存在負值沒有關(guān)系，同樣可以通過對比評價值判斷評價對象的相對優(yōu)劣水平，但是如果能實現(xiàn)評價值的評價功能，對于綜合評價而言，無疑更具有意義。線性加權(quán)綜合法和TOPSIS是兩種常用的評價方法[14]，從相對評價的視角，TOPSIS的評價值已具備評價功能，所以本文將重點研究如何實現(xiàn)線性加權(quán)綜合法評價值的評價功能，同時分析標準化值與評價值在評價功能上的區(qū)別和聯(lián)系，以指導標準化方法的選擇。

1 標準化值的評價功能

選用常用的標準化方法進行說明，包括min-max標準化、極大值標準化、均值標準化和z-score標準化。為做對比分析，也選用sigmoid標準化。評價指標一般包括正向指標與反向指標，兩者原理相近，所以本文以正向指標的標準化進行說明。各標準化方法的計算公式如下：

min-max標準化：

(1)

式(1)中，Xij是第i個評價對象第j個指標的原始值，xij為相應的無量綱化值。

極大值標準化：

(2)

均值標準化：

(3)

z-score標準化：

(4)

式(4)中，σj為第j個指標的標準差。

sigmoid標準化：在文獻[9]中，sigmoid標準化是將z-score標準化值代入sigmoid函數(shù)進行標準化，

(5)

對于上述標準化方法，如果有明確的限制性標準，且標準化值限制在[0,1]范圍內(nèi)，則可以根據(jù)標準化值直接進行相對優(yōu)劣判斷。以xij≥0.6代表相對及格，以xij≥0.9代表相對優(yōu)秀，可以推導出與原始數(shù)據(jù)有關(guān)的等效評價標準，如表1所示。在表1中，限制性標準左邊部分代表原始值，右邊部分代表標準化值。

表1 不同標準化方法標準化值的評價標準

從表1可以看出，均值標準化和z-score標準化不能將標準化值限制在[0,1]范圍內(nèi)，而且最優(yōu)值和最劣值不固定，所以無法建立相對及格和相對優(yōu)秀的評價標準。min-max標準化以maxiXij≡1，miniXij≡0為限制性標準，標準化值直接反映了相對于最優(yōu)值和最劣值的優(yōu)劣水平；極大值標準化以maxiXij≡1，0≡0為限制性標準，標準化值直接反映了相對于最優(yōu)值和零值的優(yōu)劣水平。2種標準化方法都將標準化值限制在了[0, 1]范圍內(nèi)，可建立相對及格和相對優(yōu)秀的評價標準。只不過2種標準化方法的限制性標準有所差異，所以標準化值所代表的相對優(yōu)劣水平有所差異。

綜上所述，從相對評價的角度，min-max標準化值和極大值標準化值具有評價功能，可直接判斷相對優(yōu)劣水平，只不過標準化值所代表的相對優(yōu)劣水平有所差異；均值標準化值和z-score標準化值不具有評價功能，但仍然可以通過標準化值的對比判斷相對優(yōu)劣水平；sigmoid標準化值的評價功能要弱于min-max標準化值和極大值標準化值，因為它的限制性標準不明確，所以標準化值所代表的相對優(yōu)劣水平不明確。在沒有獨立于樣本的評價標準的情況下，現(xiàn)有標準化值都不能直接用于優(yōu)劣判斷。

2 評價值的評價功能

在沒有獨立于樣本的評價標準時，現(xiàn)有標準化值都不能直接用于優(yōu)劣判斷，相應的，評價方法的評價值也不能直接用于優(yōu)劣判斷。在這種情況下，只需要研究評價值是否具有直接進行相對優(yōu)劣判斷的評價功能。以線性加權(quán)綜合法和TOPSIS為例。從相對評價的視角，TOPSIS的評價值已具備評價功能，評價值的計算公式如下[15]：

(6)

TOPSIS評價值直接反映了評價對象相對于理想解和負理想解的優(yōu)劣水平，且不受標準化值評價功能的影響。即使采用不具評價功能的均值標準化值和z-score標準化值等，也不影響TOPSIS評價值的評價功能。

線性加權(quán)綜合法的計算公式如下：

Ci=w1xi1+w2xi2+…+wnxin。

(7)

當采用min-max標準化或極大值標準化時，線性加權(quán)綜合法的評價值具有評價功能，可直接反映評價對象相對于各指標均為最優(yōu)值(理想解)和各指標均為最劣值(負理想解)或各指標均為零值的優(yōu)劣水平。當采用均值標準化和z-score標準化時，線性加權(quán)綜合法的評價值不具有評價功能，因為評價值既不能限制在[0,1]之間，也不具有固定的最優(yōu)值和最劣值。在這種情況下，可通過對評價值進行線性轉(zhuǎn)換以實現(xiàn)其評價功能。均值標準化或z-score標準化后，計算各評價對象的評價值，以及各指標同時取最優(yōu)值或最劣值對應的評價值為：

(8)

(9)

(10)

對Ci進行線性變換，且滿足：

Si=ACi+B，

(11)

A·max(C)+B=1，

(12)

A·min(C)+B=0。

(13)

這樣，可以滿足各指標均為最優(yōu)值(理想解)時，評價值為1；各指標為最劣值(負理想解)時，評價值為0。線性變換不會改變評價值的相對差異，即評價對象的相對優(yōu)劣水平。根據(jù)式(12)和(13)計算參數(shù)A、B，并代入式(11)可得：

(14)

對于熵權(quán)法、層次分析法等線性評價方法，可直接采用式(14)對評價值進行線性轉(zhuǎn)換實現(xiàn)其評價功能。對于主成分分析和因子分析等降維方法，一般情況下評價值與主成分和主因子之間具有線性關(guān)系，而主成分和主因子與評價指標之間也可視作線性關(guān)系，所以評價值與評價指標之間也是線性關(guān)系，可寫出如式(7)的表達式，再按照式(14)對評價值進行線性轉(zhuǎn)換也可實現(xiàn)其評價功能。

3 實證分析

3.1 三種標準化值的評價功能

以2014年和2017年四川省各市州人均GDP數(shù)據(jù)為例，說明min-max標準化值、極大值標準化值和sigmoid標準化值在評價功能上的區(qū)別，標準化值和原始值如表2所示。從2014年到2017年，四川省各市州的人均GDP都在不同程度上得到了提高，單從人均GDP來看，各市州的經(jīng)濟水平得到了提升。從2014年到2017年各市州的sigmoid標準化值既有增加也有降低，但是sigmoid標準化沒有明確的限制性標準，無法判斷相對優(yōu)劣水平是如何變化。從2014年到2017年各市州的min-max標準化值同樣既有增加也有降低，但可以直接進行對比。比如，成都市2014年的標準化值為0.989，2017年的標準化值為0.924，說明成都市的人均GDP在四川省的相對優(yōu)劣水平下降了。除攀枝花市以外，各市州的極大值標準化值總是大于min-max標準化值，這是因為極大值標準化以零值為限制性標準，而min-max標準化以最劣值為限制性標準。

表2 四川省各市州的人均GDP數(shù)據(jù)及標準化值

3.2 標準化值與評價值在評價功能上的獨立性

TOPSIS評價值的評價功能不受標準化值評價功能的影響；經(jīng)過線性轉(zhuǎn)換后，線性加權(quán)綜合法評價值的評價功能不再受標準化值評價功能的限制。所以，評價者必須區(qū)別看待標準化值和評價值的評價功能，也必須區(qū)別應用標準化值和評價值的評價功能。以區(qū)域經(jīng)濟評價為例進行說明，簡單起見，以GDP和GDP增速2個評價指標為例，采用等權(quán)重評價。假定有4個行政區(qū)，原始值如表3所示，4種標準化值見表3，2種評價方法的評價值見表4。

由于GDP一般不會接近于0，而GDP增速可能出現(xiàn)負值的情況，建議優(yōu)先采用min-max標準化。對于單個指標而言，min-max標準化值可以直接反映評價對象在該指標上相對于最優(yōu)值和最劣值的優(yōu)劣水平。但是，如果是綜合評價，則需要注意標準化方法的使用。評價對象的相對優(yōu)劣水平由評價值的相對差異決定，根據(jù)線性加權(quán)綜合法和TOPSIS的計算原理，評價值的相對差異與各指標的差異性有關(guān)。不同的標準化方法會影響各指標的差異性[7-8]，對于量綱不同的原始數(shù)據(jù)，以標準差除以均值即變異系數(shù)表示各指標的差異性；對于標準化值，直接以標準差表示各指標的差異性。

從表3中可以看出，GDP的差異性遠大于GDP增速。如果采用min-max標準化，則這種差異性的區(qū)別會被掩蓋，min-max標準化后各指標的極差統(tǒng)一為1，各指標的標準差往往比較接近。表3中min-max標準化后GDP和GDP增速的標準差分別為0.438和0.430，非常接近。這種情況下，GDP和GDP增速在評價中的作用相似，比如，min-max標準化后表4中線性加權(quán)綜合法和TOPSIS所確定的甲市和丁市的評價值相等，而甲市的GDP是丁市的10倍，但兩市的GDP增速差異僅為0.3%，即min-max標準化提高了GDP增速在評價中的作用。z-score標準化直接消除了原始數(shù)據(jù)在差異性上的區(qū)別，GDP和GDP增速的標準差統(tǒng)一為1，各指標在評價中的作用趨于均衡。min-max標準化在社會經(jīng)濟評價中的應用非常廣泛，相比之下，z-score標準化意義更為明確，建議優(yōu)先采用z-score標準化。

極大值標準化改變了原始數(shù)據(jù)在差異性上的區(qū)別，極大值標準化后2個指標的標準差分別為0.394和0.016，兩個指標在差異性上的區(qū)別縮小了，但這種變化并不明確，由原始數(shù)據(jù)的極大值決定。均值標準化后，各指標的標準差等于原始數(shù)據(jù)的變異系數(shù)，即按原始數(shù)據(jù)的差異性發(fā)揮各指標在評價中的作用。這種情況下，GDP在評價中的作用遠大于GDP增速。對比表4和表3，可以看出均值標準化后評價值的相對差異與GDP的相對差異非常接近。因此，如果評價者期望按原始數(shù)據(jù)的差異性發(fā)揮各指標在評價中的作用，建議采用均值標準化。

線性加權(quán)綜合法和TOPSIS的計算原理不同，兩種方法的評價值總是存在一定差異，但是由于本文統(tǒng)一了線性加權(quán)綜合法和TOPSIS評價值的評價功能，兩種方法的評價值可直接進行比較，以對比分析兩種方法的區(qū)別。

表3 原始數(shù)據(jù)和標準化值

表4 兩種評價方法的評價值

4 結(jié)論

研究標準化值或評價值的評價功能，必須要明確區(qū)分相對評價和絕對評價。從相對評價的視角，本文將標準化值和評價值的評價功能定義為根據(jù)標準化值或評價值直接進行相對優(yōu)劣判斷。從相對評價的視角，min-max標準化值和極大值標準化值具有評價功能，sigmoid標準化值評價功能欠佳，均值標準化值和z-score標準化值不具有評價功能；TOPSIS的評價值具有評價功能，線性加權(quán)綜合法評價值的評價功能受標準化方法的影響，但可通過對評價值進行線性轉(zhuǎn)換實現(xiàn)其評價功能。